Uma lagrangiana para um sistema físico específico é dada por
L=m2(a dotx^2+2 b dotx doty+c doty^2)-k2(a x^2+2 b x y+c y^2)
onde a, b e c são constantes arbitrárias sujeitas à condição b^2-a c neq 0. Quais são as equações de movimento? Examine dois casos particulares: i) a=0=c e ii) b=0, c=-a. Qual é o sistema físico descrito pela lagrangiana em questão?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função chamada lagrangiana que descreve um sistema físico. A lagrangiana dada é:
L = m2(a dotx^2 + 2 b dotx doty + c doty^2) - k2(a x^2 + 2 b x y + c y^2)
Aqui, $ a $, $ b $ e $ c $ são constantes, e $ \dot{x} $, $ \dot{y} $ representam as velocidades das coordenadas $ x $ e $ y $. A condição $ b^{2} - a c \neq 0 $ precisa ser satisfeita. Para resolver esse problema, vamos usar as equações de movimento da mecânica lagrangiana, que nos dizem como $ x $ e $ y $ evoluem no tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como encontrar as equações de movimento usando a lagrangiana. A gente utiliza as equações de Euler-Lagrange, que dizem:
ddt(partial Lpartial dotq) - partial Lpartial q = 0
onde $ q $ é uma coordenada generalizada, no nosso caso, $ x $ ou $ y $.
Vamos começar aplicando isso para a coordenada $ x $.

Passo 3

Para $ x $, calculamos as derivadas necessárias:
Primeiro, a derivada parcial de $ L $ em relação a $ \dot{x} $:
x
Agora, derivamos isso em relação ao tempo:
L
Em seguida, a derivada parcial de $ L $ em relação a $ x $:
dotx
Agora aplicamos a equação de Euler-Lagrange:
partial Lpartial dotx = m (a dotx + b doty)

Passo 4

Fazendo a mesma coisa para a coordenada $ y $:
Calculamos a derivada parcial de $ L $ em relação a $ \dot{y} $:
y
Derivando em relação ao tempo:
L
E a derivada parcial de $ L $ em relação a $ y $:
doty
Aplicando a equação de Euler-Lagrange:
partial Lpartial doty = m (b dotx + c doty)

Passo 5

Agora, temos as equações de movimento gerais:
  1. $ m (a \ddot{x} + b \ddot{y}) + k (a x + b y) = 0 $
  2. $ m (b \ddot{x} + c \ddot{y}) + k (b x + c y) = 0 $
Essas duas equações descrevem como $ x $ e $ y $ se comportam ao longo do tempo para qualquer valor de $ a $, $ b $ e $ c $, desde que $ b^{2} - a c \neq 0 $.

Passo 6

Vamos agora examinar os dois casos particulares:

i) $ a = 0 $ e $ c = 0 $

Substituindo na lagrangiana:
a = 0
Agora, aplicando nas equações de movimento:
  1. $ m (0 \cdot \ddot{x} + b \ddot{y}) + k (0 \cdot x + b y) = 0 $
    Simplificando: $ m b \ddot{y} + k b y = 0 $
    Dividindo por $ b $: $ m \ddot{y} + k y = 0 $
  2. $ m (b \ddot{x} + 0 \cdot \ddot{y}) + k (b x + 0 \cdot y) = 0 $
    Simplificando: $ m b \ddot{x} + k b x = 0 $
    Dividindo por $ b $: $ m \ddot{x} + k x = 0 $

ii) $ b = 0 $ e $ c = -a $

Substituindo na lagrangiana:
c = 0
Agora, aplicando nas equações de movimento:
  1. $ m (a \ddot{x} + 0 \cdot \ddot{y}) + k (a x + 0 \cdot y) = 0 $
    Simplificando: $ m a \ddot{x} + k a x = 0 $
    Dividindo por $ a $: $ m \ddot{x} + k x = 0 $
  2. $ m (0 \cdot \ddot{x} - a \ddot{y}) + k (0 \cdot x - a y) = 0 $
    Simplificando: $ -m a \ddot{y} - k a y = 0 $
    Dividindo por $ -a $: $ m \ddot{y} + k y = 0 $

Passo 7

Por fim, vamos identificar o sistema físico descrito pela lagrangiana.
Observando as equações de movimento nos dois casos, vemos que elas correspondem a osciladores harmônicos simples. No primeiro caso, temos dois modos de oscilação independentes em $ x $ e $ y $. No segundo caso, também temos duas oscilações harmônicas, mas com características específicas devido aos valores de $ a $, $ b $ e $ c $.

Resposta

As equações de movimento derivadas da lagrangiana são:
  1. $ m (a \ddot{x} + b \ddot{y}) + k (a x + b y) = 0 $
  2. $ m (b \ddot{x} + c \ddot{y}) + k (b x + c y) = 0 $
Nos casos particulares:
i) Quando $ a = 0 $ e $ c = 0 $:
  • $ m \ddot{x} + k x = 0 $
  • $ m \ddot{y} + k y = 0 $
ii) Quando $ b = 0 $ e $ c = -a $:
  • $ m \ddot{x} + k x = 0 $
  • $ m \ddot{y} + k y = 0 $
O sistema físico descrito pela lagrangiana é aquele de dois osciladores harmônicos simples possivelmente acoplados, dependendo dos valores das constantes $ a $, $ b $ e $ c $.

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