Uma lagrangiana para um sistema físico específico é dada por
onde
e
são constantes arbitrárias sujeitas à condição
. Quais são as equações de movimento? Examine dois casos particulares: i)
e ii)
. Qual é o sistema físico descrito pela lagrangiana em questão?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função chamada lagrangiana que descreve um sistema físico. A lagrangiana dada é:
Aqui, $ a $, $ b $ e $ c $ são constantes, e $ \dot{x} $, $ \dot{y} $ representam as velocidades das coordenadas $ x $ e $ y $. A condição $ b^{2} - a c \neq 0 $ precisa ser satisfeita. Para resolver esse problema, vamos usar as equações de movimento da mecânica lagrangiana, que nos dizem como $ x $ e $ y $ evoluem no tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como encontrar as equações de movimento usando a lagrangiana. A gente utiliza as equações de Euler-Lagrange, que dizem:
onde $ q $ é uma coordenada generalizada, no nosso caso, $ x $ ou $ y $.
Vamos começar aplicando isso para a coordenada $ x $.
Passo 3
Para $ x $, calculamos as derivadas necessárias:
Primeiro, a derivada parcial de $ L $ em relação a $ \dot{x} $:
Agora, derivamos isso em relação ao tempo:
Em seguida, a derivada parcial de $ L $ em relação a $ x $:
Agora aplicamos a equação de Euler-Lagrange:
Passo 4
Fazendo a mesma coisa para a coordenada $ y $:
Calculamos a derivada parcial de $ L $ em relação a $ \dot{y} $:
Derivando em relação ao tempo:
E a derivada parcial de $ L $ em relação a $ y $:
Aplicando a equação de Euler-Lagrange:
Passo 5
Agora, temos as equações de movimento gerais:
- $ m (a \ddot{x} + b \ddot{y}) + k (a x + b y) = 0 $
- $ m (b \ddot{x} + c \ddot{y}) + k (b x + c y) = 0 $
Essas duas equações descrevem como $ x $ e $ y $ se comportam ao longo do tempo para qualquer valor de $ a $, $ b $ e $ c $, desde que $ b^{2} - a c \neq 0 $.
Passo 6
Vamos agora examinar os dois casos particulares:
i) $ a = 0 $ e $ c = 0 $
Substituindo na lagrangiana:
Agora, aplicando nas equações de movimento:
-
$ m (0 \cdot \ddot{x} + b \ddot{y}) + k (0 \cdot x + b y) = 0 $
Simplificando: $ m b \ddot{y} + k b y = 0 $
Dividindo por $ b $: $ m \ddot{y} + k y = 0 $ -
$ m (b \ddot{x} + 0 \cdot \ddot{y}) + k (b x + 0 \cdot y) = 0 $
Simplificando: $ m b \ddot{x} + k b x = 0 $
Dividindo por $ b $: $ m \ddot{x} + k x = 0 $
ii) $ b = 0 $ e $ c = -a $
Substituindo na lagrangiana:
Agora, aplicando nas equações de movimento:
-
$ m (a \ddot{x} + 0 \cdot \ddot{y}) + k (a x + 0 \cdot y) = 0 $
Simplificando: $ m a \ddot{x} + k a x = 0 $
Dividindo por $ a $: $ m \ddot{x} + k x = 0 $ -
$ m (0 \cdot \ddot{x} - a \ddot{y}) + k (0 \cdot x - a y) = 0 $
Simplificando: $ -m a \ddot{y} - k a y = 0 $
Dividindo por $ -a $: $ m \ddot{y} + k y = 0 $
Passo 7
Por fim, vamos identificar o sistema físico descrito pela lagrangiana.
Observando as equações de movimento nos dois casos, vemos que elas correspondem a osciladores harmônicos simples. No primeiro caso, temos dois modos de oscilação independentes em $ x $ e $ y $. No segundo caso, também temos duas oscilações harmônicas, mas com características específicas devido aos valores de $ a $, $ b $ e $ c $.
Resposta
As equações de movimento derivadas da lagrangiana são:
- $ m (a \ddot{x} + b \ddot{y}) + k (a x + b y) = 0 $
- $ m (b \ddot{x} + c \ddot{y}) + k (b x + c y) = 0 $
Nos casos particulares:
i) Quando $ a = 0 $ e $ c = 0 $:
- $ m \ddot{x} + k x = 0 $
- $ m \ddot{y} + k y = 0 $
ii) Quando $ b = 0 $ e $ c = -a $:
- $ m \ddot{x} + k x = 0 $
- $ m \ddot{y} + k y = 0 $
O sistema físico descrito pela lagrangiana é aquele de dois osciladores harmônicos simples possivelmente acoplados, dependendo dos valores das constantes $ a $, $ b $ e $ c $.