III. 6 Lista 4 de Exercícios - Séries de Fourier.

b) Dada a função f(x)=2-x, \quad 0<x<2, encontre UMA FUNÇÃO cuja série de Fourier em cossenos convirja para f(x) para todo x \in] 0,2[.
8. Seja f(x)=x, x \in[0, \pi]. Encontre uma série de Fourier envolvendo senos e cossenos, que convirja para f(x)=x, para todo x \in[0, \pi].(Pense numa extensão apropriada de f.)
9. Seja f(x) função 2 \pi-periódica dada por f(x)=\pi-x \quad se x \in(-\pi, \pi).
a) Mostre que sua série de Fourier é dada por S_{f}(x)=\pi+2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} \operatorname{sen} n x}{n}.
b) Use o item a) para mostrar que \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{2 n-1}=\frac{\pi}{4}.
10. Seja f(x) função 2 \pi-periódica dada por f(x)=|x| se x \in(-\pi, \pi).
a) Mostre que sua série de Fourier é dada por S_{f}(x)=\frac{\pi}{2}-\frac{4}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n-1)^{2}} \cos (2 n-1) x.

Passo 1

Resumindo o item b): temos f(x)=2 - x definida em 0<x<2 e queremos uma função cuja série de Fourier em cossenos (isto é, apenas termos \cos) convirja para f(x) em todo ]0,2[. O método-padrão é estender f de forma par ao intervalo (-2,2) e depois periodizar com período 4.

Passo 2

Definimos a extensão par
g(x)=2 - |x|\,,\quad x\in[-2,2],
de modo que em 0<x<2 temos g(x)=2-x. Em seguida, estendemos g para todo \mathbb{R} com período 4. A série de Fourier de cossenos de g em [0,2] converge para g(x) em 0<x<2, isto é, para f(x).

Passo 3

Item 8: f(x)=x em [0,\pi]. Queremos sua série de Fourier (termos \cos nx e \sin nx) que convirja para x em [0,\pi]. Para isso, consideramos a extensão periódica de período 2\pi sem impor simetria.

Passo 4

Os coeficientes são
a_0=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x\,dx=\frac{2}{\pi}\cdot\frac{\pi^2}{2}=\pi,
a_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x\cos(nx)\,dx =\frac{2}{\pi}\,\frac{(-1)^n-1}{n^2},
b_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x\sin(nx)\,dx =-\frac{2(-1)^n}{n}.

Passo 5

Logo a série de Fourier é
x =\frac{a_0}{2} +\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\Bigr] =\frac{\pi}{2} +\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2\bigl((-1)^n-1\bigr)}{\pi n^2}\cos(nx) -\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2(-1)^n}{n}\sin(nx).

Passo 6

Item 9a: f é 2\pi-periódica, definida por f(x)=\pi-x em (-\pi,\pi). Queremos sua série de Fourier.

Passo 7

Cálculo dos coeficientes usual:
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(\pi-x)\,dx =\frac{2\pi^2}{\pi}=2\pi \quad\Longrightarrow\quad\frac{a_0}{2}=\pi,
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(\pi-x)\cos(nx)\,dx=0 \quad(\text{pois os termos são pares e ímpares que se anulam}),ãí
b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(\pi-x)\sin(nx)\,dx =2\,\frac{(-1)^n}{n}.

Passo 8

Item 9b: partindo de
\pi+2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}\sin(nx)
avaliamos em x=\tfrac{\pi}{2}. Do lado esquerdo f(\tfrac\pi2)=\pi-\tfrac\pi2=\tfrac\pi2.

Passo 9

Em x=\tfrac\pi2 a série vira
\pi +2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}\sin\!\Bigl(n\frac{\pi}{2}\Bigr) =\frac{\pi}{2}.
Como \sin(n\pi/2)=0 para n par e \pm1 para n ímpar, conclui-se
\sum_{m=1}^{\infty}\frac{(-1)^{m-1}}{2m-1} =\frac{\pi}{4}.

Passo 10

Item 10a: f é 2\pi-periódica, f(x)=|x| em (-\pi,\pi). Como f é par, sua série de Fourier só tem cossenos.

Passo 11

Cálculo dos coeficientes:
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|x|\,dx =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x\,dx =\pi \quad\Longrightarrow\quad\frac{a_0}{2}=\frac{\pi}{2},
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|x|\cos(nx)\,dx =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x\cos(nx)\,dx =\frac{2\bigl((-1)^n-1\bigr)}{\pi n^2}.
Para n par, a_n=0; para n=2m-1 ímpar, a_{2m-1}=-\tfrac{4}{\pi(2m-1)^2}.

Resposta

S_f(x) =\frac{\pi}{2} -\frac{4}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^2}\cos\bigl((2n-1)x\bigr).

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