III. 6 Lista 4 de Exercícios - Séries de Fourier.
b) Dada a função
, encontre UMA FUNÇÃO cuja série de Fourier em cossenos convirja para
para todo
.
8. Seja
. Encontre uma série de Fourier envolvendo senos e cossenos, que convirja para
, para todo
.(Pense numa extensão apropriada de f.)
9. Seja
função
-periódica dada por
se
.
a) Mostre que sua série de Fourier é dada por
.
b) Use o item a) para mostrar que
.
10. Seja
função
-periódica dada por
se
.
a) Mostre que sua série de Fourier é dada por
.
8. Seja
9. Seja
a) Mostre que sua série de Fourier é dada por
b) Use o item a) para mostrar que
10. Seja
a) Mostre que sua série de Fourier é dada por
Passo 1
Resumindo o item b): temos
definida em
e queremos uma função cuja série de Fourier em cossenos (isto é, apenas termos
) convirja para
em todo
. O método-padrão é estender
de forma par ao intervalo
e depois periodizar com período
.
Passo 2
Definimos a extensão par
de modo que em
temos
. Em seguida, estendemos
para todo
com período
. A série de Fourier de cossenos de
em
converge para
em
, isto é, para
.
Passo 3
Item 8:
em
. Queremos sua série de Fourier (termos
e
) que convirja para
em
. Para isso, consideramos a extensão periódica de período
sem impor simetria.
Passo 4
Os coeficientes são
Passo 5
Logo a série de Fourier é
Passo 6
Item 9a:
é
-periódica, definida por
em
. Queremos sua série de Fourier.
Passo 7
Cálculo dos coeficientes usual:
Passo 8
Item 9b: partindo de
avaliamos em
. Do lado esquerdo
.
Passo 9
Em
a série vira
Como
para
par e
para
ímpar, conclui-se
Passo 10
Item 10a:
é
-periódica,
em
. Como
é par, sua série de Fourier só tem cossenos.
Passo 11
Cálculo dos coeficientes:
Para
par,
; para
ímpar,
.