III. 6 Lista 4 de Exercícios - Séries de Fourier.

Supondo que as funções abaixo sejam 2 \pi - periódicas, calcule a série de Fourier de cada uma delas :
) f(x)=\cos ^{2} x

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier de f(x)=\cos^2x, função 2\pi-periódica. Vamos usar a forma geral da série de Fourier numa base de cossenos e senos, calculando os coeficientes \displaystyle a_0,\;a_n,\;b_n

Passo 2

A série de Fourier de uma função 2\pi-periódica consiste em
f(x)\sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\bigr),
com
a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}f(x)\,dx, \quad a_n = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}f(x)\cos(nx)\,dx, \quad b_n = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}f(x)\sin(nx)\,dx.

Passo 3

Calculemos a_0:
a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}\cos^2x\,dx.
Usamos a identidade \cos^2x=\tfrac12(1+\cos2x), então
\int_{0}^{2\pi}\cos^2x\,dx = \frac12\int_{0}^{2\pi}1\,dx + \frac12\int_{0}^{2\pi}\cos2x\,dx = \frac12\cdot2\pi + 0 = \pi.
Logo
a_0 = \frac{1}{\pi}\cdot \pi = 1,
e o termo constante da série é \tfrac{a_0}{2} = \tfrac12.

Passo 4

Agora a_n para n\ge1:
a_n = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}\cos^2x\cos(nx)\,dx = \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}(1+\cos2x)\cos(nx)\,dx.
Quebra em duas partes:
  1. \displaystyle \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\cos(nx)\,dx=0 para todo n\ge1.
  2. \displaystyle \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\cos2x\cos(nx)\,dx só é não nulo quando n=2, pois
\int_{0}^{2\pi}\cos2x\cos(nx)\,dx =\begin{cases}\pi,&n=2,\\\ 0,&n\neq2.\end{cases}
Logo
a_n = \begin{cases} \frac{1}{2\pi}\cdot\pi = \tfrac12,&n=2,\\\\ 0,&n\neq2. \end{cases}

Passo 5

Para b_n:
b_n = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}\cos^2x\,\sin(nx)\,dx.
O integrando é produto de função par \cos^2x e função ímpar \sin(nx) sobre um período inteiro, então
b_n = 0\quad\text{para todo \(n\).}

Resposta

A série de Fourier de \cos^2x é
\cos^2x = \frac12 + \frac12\cos(2x).

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