III. 6 Lista 4 de Exercícios - Séries de Fourier.

Supondo que as funções abaixo sejam 2 \pi - periódicas, calcule a série de Fourier de cada uma delas :
f(x)=x sen x se x \in]-\pi, \pi] \quad m

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier de período 2\pi da função
f(x)=x\sin x,\quad x\in(-\pi,\pi],
estendida periodicamente. Vamos usar a definição clássica de série de Fourier em cossenos e senos, aproveitando simetrias para simplificar os coeficientes.

Passo 2

Primeiro, analisamos a paridade de f. Note que x é função ímpar e \sin x também é ímpar, logo
f(x)=x\sin x
é o produto de duas funções ímpares, o que resulta numa função par. Portanto, na expansão de Fourier teremos apenas termos em cosseno e
b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)\,dx=0
para todo n, pois o integrando é ímpar.

Passo 3

Calculamos o termo constante
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x\sin x\,dx.
Como o integrando é par,
a_0=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x\sin x\,dx.
Fazendo integração por partes ou usando a fórmula
\int_{0}^{\pi}x\sin(kx)\,dx=-\frac{\pi(-1)^k}{k},
com k=1, obtemos
\int_{0}^{\pi}x\sin x\,dx=-\pi\frac{(-1)^1}{1}=\pi,
logo
a_0=\frac{2}{\pi}\,\pi=2.

Passo 4

Para n\ge2, o coeficiente em cosseno é
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x\sin x\cos(nx)\,dx =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x\sin x\cos(nx)\,dx.
Usamos a identidade
\sin x\cos(nx)=\tfrac12\bigl[\sin((n+1)x)+\sin((1-n)x)\bigr]
e a mesma fórmula de integral com k=n\pm1. Após simplificar, chega-se a
\int_{0}^{\pi}x\sin x\cos(nx)\,dx =-\frac{\pi(-1)^n}{n^2-1},
portanto
a_n=\frac{2}{\pi}\Bigl(-\frac{\pi(-1)^n}{n^2-1}\Bigr) =-\frac{2(-1)^n}{n^2-1} =\frac{2(-1)^{n+1}}{n^2-1} \quad(n\ge2).

Passo 5

O caso n=1 deve ser tratado à parte:
a_1=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x\sin x\cos x\,dx =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\frac{x\sin(2x)}{2}\,dx =\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}x\sin(2x)\,dx.
Aplicando a fórmula com k=2,
\int_{0}^{\pi}x\sin(2x)\,dx =-\frac{\pi(-1)^2}{2}=-\frac{\pi}{2},
vem
a_1=\frac{1}{\pi}\Bigl(-\frac{\pi}{2}\Bigr)=-\tfrac12.

Passo 6

Juntando tudo, a série de Fourier de f é
f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(nx),
onde
\frac{a_0}{2}=1,\quad a_1=-\tfrac12,\quad a_n=\frac{2(-1)^{n+1}}{n^2-1}\;(n\ge2),
e todos os b_n são zero.

Resposta

\boxed{ x\sin x = 1-\tfrac12\cos x +\sum_{n=2}^{\infty}\frac{2(-1)^{n+1}}{n^2-1}\,\cos(nx). }

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