III. 6 Lista 4 de Exercícios - Séries de Fourier.
Supondo que as funções abaixo sejam
- periódicas, calcule a série de Fourier de cada uma delas :
sen
se
Passo 1
O enunciado pede a série de Fourier de período
da função
estendida periodicamente. Vamos usar a definição clássica de série de Fourier em cossenos e senos, aproveitando simetrias para simplificar os coeficientes.
Passo 2
Primeiro, analisamos a paridade de
. Note que
é função ímpar e
também é ímpar, logo
é o produto de duas funções ímpares, o que resulta numa função par. Portanto, na expansão de Fourier teremos apenas termos em cosseno e
para todo
, pois o integrando é ímpar.
Passo 3
Calculamos o termo constante
Como o integrando é par,
Fazendo integração por partes ou usando a fórmula
com
, obtemos
logo
Passo 4
Para
, o coeficiente em cosseno é
Usamos a identidade
e a mesma fórmula de integral com
. Após simplificar, chega-se a
portanto
Passo 5
O caso
deve ser tratado à parte:
Aplicando a fórmula com
,
vem
Passo 6
Juntando tudo, a série de Fourier de
é
onde
e todos os
são zero.