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\iint_{D}[f(x, y)+g(x, y)] d A=\iint_{D} f(x, y) d A+\iint_{D} g(x, y) d A

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a propriedade de linearidade da integral dupla, ou seja, mostrar que, para uma região D e duas funções integráveis f e g em D, vale
\iint_{D}\bigl[f(x,y)+g(x,y)\bigr]\,dA \;=\;\iint_{D}f(x,y)\,dA\;+\;\iint_{D}g(x,y)\,dA.
Vamos usar a definição de integral dupla via somas de Riemann e a propriedade distributiva da soma finita para estabelecer essa igualdade.

Passo 2

Considere uma partição P de D em n sub-regiões D_i, de áreas \Delta A_i, e escolha em cada D_i um ponto amostral (x_i^*,y_i^*). A soma de Riemann para a função h(x,y)=f(x,y)+g(x,y) é
S(h,P)=\sum_{i=1}^{n}h(x_i^*,y_i^*)\,\Delta A_i =\sum_{i=1}^{n}\bigl[f(x_i^*,y_i^*)+g(x_i^*,y_i^*)\bigr]\Delta A_i.

Passo 3

Pela propriedade distributiva da soma, cada termo do somatório se separa:
\sum_{i=1}^{n}\bigl[f(x_i^*,y_i^*)+g(x_i^*,y_i^*)\bigr]\Delta A_i =\sum_{i=1}^{n}f(x_i^*,y_i^*)\,\Delta A_i +\sum_{i=1}^{n}g(x_i^*,y_i^*)\,\Delta A_i =S(f,P)+S(g,P).

Passo 4

Agora, ao refinarmos a partição P fazendo a norma \|P\|\to0, as somas de Riemann convergem, por hipótese de integrabilidade, para as integrais duplas correspondentes. Logo,
\iint_{D}[f+g]\,dA =\lim_{\|P\|\to0}S(f+g,P) =\lim_{\|P\|\to0}\bigl(S(f,P)+S(g,P)\bigr) =\iint_{D}f\,dA+\iint_{D}g\,dA.

Resposta

\iint_{D}\bigl[f(x,y)+g(x,y)\bigr]\,dA =\iint_{D}f(x,y)\,dA+\iint_{D}g(x,y)\,dA.

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