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Passo 1
O enunciado pede para demonstrar a propriedade de linearidade da integral dupla, ou seja, mostrar que, para uma região
e duas funções integráveis
e
em
, vale
Vamos usar a definição de integral dupla via somas de Riemann e a propriedade distributiva da soma finita para estabelecer essa igualdade.
Passo 2
Considere uma partição
de
em
sub-regiões
, de áreas
, e escolha em cada
um ponto amostral
. A soma de Riemann para a função
é
Passo 3
Pela propriedade distributiva da soma, cada termo do somatório se separa:
Passo 4
Agora, ao refinarmos a partição
fazendo a norma
, as somas de Riemann convergem, por hipótese de integrabilidade, para as integrais duplas correspondentes. Logo,