Imagine que você queira saber a idade de uma obra de arte e, para isso, fez a análise de ^14 C e descobriu que ela possui 45 % da quantidade original. Sabendo que o tempo de meia-vida dessa espécie é de 5800 anos, encontre a constante de velocidade do processo. Dica: o decaimento radioativo do ^14 C é de primeira ordem.

Passo 1

O enunciado trata do decaimento radioativo do ^14C, que obedece a uma cinética de primeira ordem, e nos dá como dado o tempo de meia-vida T1/2=5800 anos. Queremos encontrar a constante de velocidade k desse processo de decaimento.

Passo 2

Para uma reação de primeira ordem, a quantidade remanescente N(t) satisfaz a lei
N(t)=N0,e^-k,t,
onde N0 é a quantidade inicial, k a constante de velocidade e t o tempo.

Passo 3

Por definição de tempo de meia-vida, em t=T1/2 a quantidade remanescente é N(T1/2)=N0/2. Substituindo na lei de decaimento:
N02=N0,e^-k,T1/2 Longrightarrow 12=e^-k,T1/2 Longrightarrow -ln!l(tfrac12r)=k,T1/2
Logo,
k=ln 2T1/2

Passo 4

Substituindo T1/2=5800 anos:
k=ln 25800approx0,69315800approx1,195times10^-4,ano^-1

Resposta

A constante de velocidade do decaimento é
kapprox1,20times10^-4,ano^-1

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