1. (IME 2024/2025) Considere o subconjunto A do conjunto dos números complexos \mathbb{C} :
A=\left\{z \in \mathbb{C} ; \sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{z-1}{z+1}\right|^{n} \leq k-1\right\}
em que k>1 é um número real dado. Determine o valor máximo de |z| para z \in A.

Passo 1

O enunciado define
A = \Bigl\{z\in\mathbb{C}\;\Big|\;\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl|\frac{z-1}{z+1}\Bigr|^n \le k-1\Bigr\},
com k>1. O conteúdo usado será soma de série geométrica e geometria no plano complexo para encontrar o lugar geométrico dado pela desigualdade resultante. Nosso objetivo é achar o valor máximo de \lvert z\rvert para z\in A.

Passo 2

Seja
r = \Bigl\lvert\frac{z-1}{z+1}\Bigr\rvert.
A soma da série geométrica é
\sum_{n=1}^{\infty}r^n = \frac{r}{1-r},
válida para 0\le r<1. A condição \sum_{n=1}^{\infty}r^n\le k-1 vira
\frac{r}{1-r}\le k-1.
Multiplicando ambos os lados por 1-r>0 e rearranjando, obtemos
r\le\frac{k-1}{k}.

Passo 3

A desigualdade r\le (k-1)/k é
\Bigl\lvert\frac{z-1}{z+1}\Bigr\rvert \le \frac{k-1}{k}.
Elevando ao quadrado e escrevendo z=x+iy, isso equivale a
|z-1|^2 \le \frac{(k-1)^2}{k^2}\,|z+1|^2 \quad\Longleftrightarrow\quad (x-1)^2+y^2 \le \lambda^2\bigl((x+1)^2+y^2\bigr),
onde \lambda=(k-1)/k. Expandindo e reorganizando, chega-se a
(x-a)^2 + y^2 \le a^2 - 1,
ou seja, o conjunto A é o disco fechado de centro (a,0) e raio \sqrt{a^2-1}, onde
a = \frac{1+\lambda^2}{1-\lambda^2}.

Passo 4

Substituindo \lambda=(k-1)/k em
a = \frac{1+\lambda^2}{1-\lambda^2} \quad\text{e}\quad \sqrt{a^2-1},
encontra-se
a = \frac{2k^2-2k+1}{2k-1}, \qquad \sqrt{a^2-1} = \frac{2k(k-1)}{2k-1}.

Passo 5

Para um disco de centro real a>0 e raio \sqrt{a^2-1}, o ponto de módulo máximo está em (a+\sqrt{a^2-1},0), logo
\max_{z\in A}\lvert z\rvert = a + \sqrt{a^2-1} = \frac{2k^2-2k+1 + 2k(k-1)}{2k-1} = \frac{(2k-1)^2}{2k-1} = 2k - 1.

Resposta

O valor máximo de \lvert z\rvert para z\in A é 2k-1.

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