em que k>1 é um número real dado. Determine o valor máximo de |z| para z \in A.
Passo 1
O enunciado define
A = \Bigl\{z\in\mathbb{C}\;\Big|\;\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl|\frac{z-1}{z+1}\Bigr|^n \le k-1\Bigr\},
com k>1. O conteúdo usado será soma de série geométrica e geometria no plano complexo para encontrar o lugar geométrico dado pela desigualdade resultante. Nosso objetivo é achar o valor máximo de \lvert z\rvert para z\in A.
Passo 2
Seja
r = \Bigl\lvert\frac{z-1}{z+1}\Bigr\rvert.
A soma da série geométrica é
\sum_{n=1}^{\infty}r^n = \frac{r}{1-r},
válida para 0\le r<1. A condição \sum_{n=1}^{\infty}r^n\le k-1 vira
\frac{r}{1-r}\le k-1.
Multiplicando ambos os lados por 1-r>0 e rearranjando, obtemos