1. No plano complexo, resolva a EDO não homogênea
\frac{d^{2} w}{d z^{2}}-2 i \frac{d w}{d z}-w=-z+2 i
com as condições iniciais w(0)=i e w^{\prime}(0)=-i.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO não homogênea
\frac{d^{2}w}{dz^{2}} - 2\,i\,\frac{dw}{dz} - w = -\,z + 2\,i
com as condições iniciais w(0)=i e w'(0)=-\,i.
O conteúdo é equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos usar:
  1. Solução geral da equação homogênea via equação característica.
  2. Método dos coeficientes a determinar para encontrar uma solução particular polinomial.
  3. Ajustar constantes usando as condições iniciais.

Passo 2

Resolvendo a parte homogênea
w'' - 2\,i\,w' - w = 0
fazemos w(z)=e^{r z}, o que leva à característica
r^{2} - 2\,i\,r - 1 = 0.
O discriminante é (2\,i)^{2}+4= -4+4=0, logo há raiz dupla
r = \frac{2\,i}{2} = i\quad(\text{multiplicidade 2}).
Portanto a solução homogênea é
w_{h}(z) = \bigl(C_{1} + C_{2}\,z\bigr)\,e^{i z}.

Passo 3

Procurando uma solução particular w_{p}(z) para o termo não homogêneo -\,z+2\,i, tentamos um polinômio de grau 1:
w_{p}(z) = A\,z + B.
Então
w_{p}'(z) = A,\quad w_{p}''(z) = 0.
Substituindo em w'' - 2i\,w' - w = -z + 2i, obtemos
0 - 2\,i\,A - (A\,z + B) = -\,z + 2\,i.
Igualando coeficientes de z e constantes, vem
-\,A = -1 \;\Rightarrow\; A = 1,
-\,B - 2\,i\,A = 2\,i \;\Rightarrow\; -\,B -2\,i = 2\,i \;\Rightarrow\; B = -4\,i.
Logo
w_{p}(z) = z \;-\; 4\,i.

Passo 4

A solução geral da EDO é a soma
w(z) = w_{h}(z) + w_{p}(z) = \bigl(C_{1} + C_{2}\,z\bigr)e^{i z} \;+\; z - 4\,i.

Passo 5

Agora usamos as condições iniciais para achar C_{1} e C_{2}.
Primeiro, em z=0:
w(0) = \bigl(C_{1} + C_{2}\cdot 0\bigr)e^{0} + 0 -4\,i = C_{1} -4\,i = i \;\Rightarrow\; C_{1} = i + 4\,i = 5\,i.
Em seguida calculamos w'(z). Da soma,
\frac{d}{dz}\bigl[(C_{1}+C_{2}z)e^{iz}\bigr] = \bigl(C_{2} + i\,(C_{1}+C_{2}z)\bigr)e^{iz},
e
\frac{d}{dz}(z-4\,i) = 1.
Logo
w'(z) = \bigl(C_{2} + i\,C_{1} + i\,C_{2}\,z\bigr)e^{iz} + 1.
Em z=0:
w'(0) = (C_{2} + i\,C_{1})\cdot 1 + 1 = C_{2} + i\,(5\,i) + 1 = C_{2} -5 + 1 = C_{2} -4.
Mas w'(0) deve valer -\,i, então
C_{2} -4 = -\,i \;\Rightarrow\; C_{2} = 4 - i.

Passo 6

Substituindo C_{1}=5\,i e C_{2}=4 - i na solução geral, obtemos
w(z) = \bigl(5\,i + (4 - i)\,z\bigr)e^{i z} \;+\; z \;-\; 4\,i.

Resposta

w(z) = \bigl(5\,i + (4 - i)\,z\bigr)e^{i z} \;+\; z \;-\; 4\,i.

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