(IME 2024/2025) Determine as raízes complexas da equação abaixo, em que i^{2}=-1.
\frac{z^{2}+\frac{1+i \sqrt{3}}{2}}{z+1} \cdot \frac{z^{2}+\frac{1-i \sqrt{3}}{2}}{z-1}=\frac{16}{\left(z^{2}-1\right)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para achar todas as raízes complexas da equação
\frac{z^{2}+\frac{1+i\sqrt{3}}{2}}{z+1}\;\cdot\;\frac{z^{2}+\frac{1-i\sqrt{3}}{2}}{z-1} =\frac{16}{\bigl(z^{2}-1\bigr)^{2}},
sabendo que i^{2}=-1.
Conteúdo: manipulação de frações algébricas em \mathbb{C}, fatoração de polinômios e resolução de z^{6}=17.

Passo 2

Note que
z^{2}+\frac{1+i\sqrt{3}}{2} \quad\text{e}\quad z^{2}+\frac{1-i\sqrt{3}}{2}
são pares de termos conjugados. O produto é
\bigl(z^{2}+e^{i\pi/3}\bigr)\bigl(z^{2}+e^{-i\pi/3}\bigr) =z^{4}+\bigl(e^{i\pi/3}+e^{-i\pi/3}\bigr)z^{2}+1 =z^{4}+z^{2}+1.

Passo 3

Substituindo no lado esquerdo, temos
\frac{z^{4}+z^{2}+1}{(z+1)(z-1)} =\frac{z^{4}+z^{2}+1}{z^{2}-1}.
Logo a equação vira
\frac{z^{4}+z^{2}+1}{z^{2}-1} =\frac{16}{(z^{2}-1)^{2}}.

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por (z^{2}-1)^{2} (e lembrando que z\neq\pm1 são pontos de indeterminação), obtemos
\bigl(z^{4}+z^{2}+1\bigr)\,(z^{2}-1) =16.

Passo 5

Expandindo o produto do lado esquerdo:
(z^{4}+z^{2}+1)(z^{2}-1) =z^{6}-1.
Então a equação reduz-se a
z^{6}-1=16 \;\Longrightarrow\; z^{6}=17.

Passo 6

As soluções de z^{6}=17 são os seis 6-édices de 17. Em forma polar:
z_{k} =\sqrt[6]{17} \exp\!\Bigl(i\frac{2\pi k}{6}\Bigr) =\sqrt[6]{17}\exp\!\Bigl(i\frac{k\pi}{3}\Bigr), \quad k=0,1,2,3,4,5.

Resposta

As raízes da equação são
\boxed{ z_{k} =\sqrt[6]{17}\,\exp\Bigl(i\frac{k\pi}{3}\Bigr), \quad k=0,1,2,3,4,5. }

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