(IME 2024/2025) Determine as raízes complexas da equação abaixo, em que
.
Passo 1
O enunciado pede para achar todas as raízes complexas da equação
sabendo que
.
Conteúdo: manipulação de frações algébricas em , fatoração de polinômios e resolução de
.
Conteúdo: manipulação de frações algébricas em
Passo 2
Note que
são pares de termos conjugados. O produto é
Passo 3
Substituindo no lado esquerdo, temos
Logo a equação vira
Passo 4
Multiplicando ambos os lados por
(e lembrando que
são pontos de indeterminação), obtemos
Passo 5
Expandindo o produto do lado esquerdo:
Então a equação reduz-se a
Passo 6
As soluções de
são os seis 6-édices de
. Em forma polar:
Resposta
As raízes da equação são