Deduza a fórmula
e conclua que
para todo número complexo
tal que
.
Passo 1
O enunciado nos pede duas coisas: primeiro, mostrar que para qualquer número complexo
e inteiro
vale a soma da progressão geométrica
Em seguida, usar esse resultado para concluir que, se
satisfaz
, então
O conteúdo principal é álgebra elementar de séries geométricas e aplicação às raízes da unidade.
Passo 2
Seja
Multiplicamos ambos os lados por
:
Agora subtraímos
de
:
No lado esquerdo podemos fatorar
:
Como assumimos
, dividimos por
e obtemos
Passo 3
Agora seja
um número complexo tal que
e
. Aplicando a fórmula acabada de deduzir com
, temos
Como
, o denominador não é zero e a fração vale zero.