Deduza a fórmula
1+z+z^{2}+\ldots+z^{n-1}=\frac{z^{n}-1}{z-1}, z \neq 1,
e conclua que
1+\xi+\xi^{2}+\ldots+\xi^{n-1}=0
para todo número complexo \xi \neq 1 tal que \xi^{n}=1.

Passo 1

O enunciado nos pede duas coisas: primeiro, mostrar que para qualquer número complexo z\neq1 e inteiro n\ge1 vale a soma da progressão geométrica
1 + z + z^2 + \cdots + z^{n-1} = \frac{z^n - 1}{\,z - 1\,}.
Em seguida, usar esse resultado para concluir que, se \xi\neq1 satisfaz \xi^n=1, então
1 + \xi + \xi^2 + \cdots + \xi^{n-1} = 0.
O conteúdo principal é álgebra elementar de séries geométricas e aplicação às raízes da unidade.

Passo 2

Seja
S = 1 + z + z^2 + \cdots + z^{n-1}.
Multiplicamos ambos os lados por z:
zS = z + z^2 + z^3 + \cdots + z^n.
Agora subtraímos S de zS:
zS - S = (z + z^2 + \cdots + z^n) - (1 + z + \cdots + z^{n-1}) = z^n - 1.
No lado esquerdo podemos fatorar S:
(z - 1)S = z^n - 1.
Como assumimos z\neq1, dividimos por z-1 e obtemos
S = \frac{z^n - 1}{\,z - 1\,}.

Passo 3

Agora seja \xi um número complexo tal que \xi^n = 1 e \xi \neq 1. Aplicando a fórmula acabada de deduzir com z = \xi, temos
1 + \xi + \xi^2 + \cdots + \xi^{n-1} = \frac{\xi^n - 1}{\,\xi - 1\,} = \frac{1 - 1}{\,\xi - 1\,} = 0.
Como \xi\neq1, o denominador não é zero e a fração vale zero.

Resposta

1 + z + z^2 + \cdots + z^{n-1} = \frac{z^n - 1}{\,z - 1\,},\quad z \neq 1,
1 + \xi + \xi^2 + \cdots + \xi^{n-1} = 0 \quad\text{sempre que}\quad \xi^n = 1,\\ \xi \neq 1.

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