Uma impedância que recebe uma tensão v=170 sen (2513.t +300 ) V é percorrido por uma corrente i = 42 sen (2513.t + 500 ) A . Achar o circuito em série de dois elementos que a carga poderia ser e identifique os valores característicos destes componentes.

Passo 1

O enunciado dá duas grandezas elétricas no domínio do tempo:
v(t)=170\operatorname{sen}\bigl(2513\,t+300\bigr)\\ \text{V}
i(t)=42\operatorname{sen}\bigl(2513\,t+500\bigr)\\ \text{A}
O que se pede: encontrar um circuito em série formado por dois elementos que poderia representar essa carga e identificar os valores característicos desses componentes (ou seja, identificar quais elementos e seus valores numéricos).
Informações relevantes extraídas do enunciado: a frequência angular é \omega=2513\\ \text{rad/s}; as amplitudes de tensão e corrente são 170 V e 42 A, respectivamente; as fases instantâneas são 300^\circ (tensão) e 500^\circ (corrente).

Passo 2

Entender e passar para fasores (a ferramenta que usamos para analisar sinais senoidais em regime permanente).
Breve aula: um sinal do tipo \displaystyle A\operatorname{sen}(\omega t+\theta) pode ser representado por um fasor (complexo) \displaystyle \tilde{A}=A\angle\theta. Para obter a impedância complexa da carga usamos
\tilde{Z}=\frac{\tilde{V}}{\tilde{I}}=\frac{V_{\text{m}}\angle\theta_v}{I_{\text{m}}\angle\theta_i}
onde V_{\text{m}} e I_{\text{m}} são amplitudes (pico) e \theta_v,\theta_i as fases em graus. A impedância \tilde{Z} é um número complexo cuja parte real é a resistência R e a parte imaginária é a reatância X (positiva para indutância, negativa para capacitância).
Aplicando ao nosso caso:
\tilde{V}=170\angle300^\circ\\ \text{V},\qquad \tilde{I}=42\angle500^\circ\\ \text{A}.
Logo
\tilde{Z}=\frac{170\angle300^\circ}{42\angle500^\circ}=\frac{170}{42}\angle(300^\circ-500^\circ).

Passo 3

Calcular magnitude e ângulo da impedância.
Magnitude:
|\tilde{Z}|=\frac{170}{42}=4{,}047619\\ \Omega.
Ângulo:
\varphi=300^\circ-500^\circ=-200^\circ.
Podemos trabalhar com o ângulo equivalente em (-180^\circ,180^\circ]; somando 360^\circ,
\varphi=-200^\circ+360^\circ=160^\circ.
Portanto
\tilde{Z}=4{,}047619\angle160^\circ\\ \Omega.

Passo 4

Converter a impedância para a forma retangular para separar resistência e reatância.
Fórmula de conversão (mini-aula): para \tilde{Z}=|Z|\angle\varphi,
\tilde{Z}=|Z|\bigl(\cos\varphi+j\operatorname{sen}\varphi\bigr)=R+jX,
onde R=|Z|\cos\varphi e X=|Z|\operatorname{sen}\varphi. Aqui \varphi em graus (use trigonometria normal).
Calculemos:
\cos160^\circ=-\cos20^\circ\approx-0{,}9396926,
\sen160^\circ=\sen20^\circ\approx0{,}3420201.
Logo
R=4{,}047619\cdot(-0{,}9396926)\approx-3{,}804\\ \Omega,
X=4{,}047619\cdot0{,}3420201\approx1{,}384\\ \Omega.
Assim
\tilde{Z}\approx-3{,}804+j1{,}384\\ \Omega.

Passo 5

Interpretar os resultados e identificar os dois elementos em série.
Explicação: em um circuito série de dois elementos passivos comuns temos combinações como R e indutor L (reatância indutiva X_L=+\omega L) ou R e capacitor C (reatância capacitiva X_C=-1/(\omega C)). A componente real de \tilde{Z} é a resistência R e a parte imaginária é a reatância total X. No nosso cálculo encontramos R negativo ( R\approx-3{,}804\\ \Omega) e X positivo ( X\approx1{,}384\\ \Omega). Isso significa que o modelo solicitado é um resistor com valor negativo em série com uma reatância indutiva. Um R<0 indica um comportamento ativo (o elemento fornece potência em vez de dissipá-la) — isso é aceitável matematicamente e às vezes aparece em modelos que incluem fontes ou dispositivos ativos; se o enunciado pressupõe apenas elementos passivos, não haveria solução com R>0.
Portanto o par de elementos é: um resistor (com R<0) em série com um indutor (porque X>0). Agora calculamos o indutor L.

Passo 6

Calcular o valor do indutor L.
Fórmula (mini-aula): reatância indutiva vale
X_L=\omega L,
onde \omega é a frequência angular e L a indutância. Assim
L=\frac{X}{\omega}.
Substituindo X\approx1{,}384\\ \Omega e \omega=2513\\ \text{rad/s}:
L=\frac{1{,}384}{2513}\\ \text{H}\approx0{,}0005509\\ \text{H}=0{,}5509\\ \text{mH}.

Passo 7

Resumo final dos valores (interpretação curta e incentivo): o circuito em série que representa a carga é um resistor (com sinal negativo) em série com um indutor; isso implica comportamento ativo. Não desanime — na prova explique esse resultado e comente que a resistência negativa significa entrega de potência pela carga (ou que, se só se permitirem elementos passivos, não há solução com R>0). Você já aprendeu o procedimento: passar para fasores, dividir para obter \tilde{Z}, separar em R e X, e usar X=\omega L ou X=-1/(\omega C) conforme o sinal.

Resposta

Circuito em série: resistor R (negativo) em série com indutor L.
R\approx -3{,}804\\ \Omega
L\approx 0{,}0005509\\ \text{H}\\ \, (0{,}5509\\ \text{mH})

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