A seguir são apresentadas as expressões para a tensão aplicada a um capacitor de 0,5 \mu \mathrm{~F}. Qual é a expressão para a corrente em cada caso?
v=127,2 \operatorname{sen} 754 t

Passo 1

O enunciado pede: “Qual é a expressão para a corrente em cada caso?” e fornece a tensão aplicada ao capacitor. Informações dadas:
  • A tensão é v=127,2\\ \operatorname{sen}(754\,t).
  • A capacitância é C=0,5\\ \mu\mathrm{F}.
    A tarefa é encontrar a corrente i(t) que atravessa o capacitor, usando só os dados acima.

Passo 2

Qual é a relação fundamental entre tensão e corrente num capacitor? A fórmula que liga as duas grandezas é
i(t)=C\,\frac{dv(t)}{dt},
onde:
  • i(t) é a corrente instantânea (em ampères),
  • C é a capacitância (em farads),
  • v(t) é a tensão instantânea (em volts),
  • \dfrac{dv(t)}{dt} é a derivada da tensão em relação ao tempo.
    Isso vem da definição do capacitor: a corrente é a taxa de variação da carga, e a carga q=Cv, então i=dq/dt=C\,dv/dt. É essencial memorizar essa relação para questões de circuitos em regime senoidal — ela resolve muita coisa rapidamente.

Passo 3

Primeiro converto a capacitância para unidades do SI (farads):
C=0,5\\ \mu\mathrm{F}=0,5\times10^{-6}\\ \mathrm{F}=5\times10^{-7}\\ \mathrm{F}.
Explicação rápida: \mu\mathrm{F} significa microfarad, que é 10^{-6} farads. Multipliquei 0,5 por 10^{-6}.

Passo 4

Agora calculo a derivada da tensão. A tensão é
v(t)=127,2\\ \operatorname{sen}(754\,t).
Regra de derivação que usamos: \dfrac{d}{dt}\big(\operatorname{sen}(\omega t)\big)=\omega\cos(\omega t). Aplicando:
\frac{dv(t)}{dt}=127,2\cdot 754\;\cos(754\,t).
Pequena observação: a derivada do seno transforma em cosseno e aparece o fator \omega=754 por causa da regra da cadeia.

Passo 5

Substituo \dfrac{dv}{dt} na fórmula i=C\,\dfrac{dv}{dt}:
i(t)=C\cdot 127,2\cdot 754\;\cos(754\,t).
Agora coloco o valor numérico de C ( 5\times10^{-7}\\ \mathrm{F}):
i(t)=5\times10^{-7}\cdot 127,2\cdot 754\;\cos(754\,t).

Passo 6

Faço as contas passo a passo (sem pular etapas):
  1. Multiplico 127,2 por 754:
127,2\times 754 = 95\,908,8.
  1. Multiplico por 5\times10^{-7}:
95\,908,8\times 5\times10^{-7}=0,0479544.
Portanto a amplitude da corrente é 0,0479544 ampères.

Passo 7

Escrevo a expressão final para i(t). Em forma com cosseno:
i(t)=0,0479544\;\cos(754\,t)\\ \mathrm{A}.
Como alternativa útil (às vezes pedida na prova), posso expressar em seno com defasagem de +90^\circ (ou \pi/2 rad):
i(t)=0,0479544\;\operatorname{sen}\!\big(754\,t+\tfrac{\pi}{2}\big)\\ \mathrm{A}.
Observação física importante (curta e motivadora): a corrente em um capacitor “antecede” a tensão em 90^\circ — ou seja, corrente está defasada de +90° em relação à tensão — e é exatamente o que mostramos: a corrente é proporcional ao cosseno quando a tensão é seno.

Resposta

i(t)=0,0479544\;\cos(754\,t)\\ \mathrm{A}
i(t)=0,0479544\;\operatorname{sen}\!\big(754\,t+\tfrac{\pi}{2}\big)\\ \mathrm{A}

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