As impedâncias do circuito equivalente de um transformador de 20 \mathrm{kVA}, 8.000 / 240 \mathrm{~V} e 60 Hz devem ser determinadas. O ensaio a vazio foi efetuado no lado secundário do transformador (para reduzir a tensão máxima a ser medida) e o ensaio de curto-circuito foi realizado no lado primário do transformador (para reduzir a corrente máxima a ser medida). Os seguintes dados foram obtidos:
Ensaio a vazio
(no secundário)
Ensaio de curto-circuito
(no primário)
V_{\mathrm{VZ}}=240 \mathrm{~V} V_{\mathrm{CC}}=489 \mathrm{~V}
I_{\mathrm{VZ}}=7,133 \mathrm{~A} I_{C C}=2,5 \mathrm{~A}
V_{\mathrm{VZ}}=400 \mathrm{~W} P_{\mathrm{CC}}=240 \mathrm{~W}

Passo 1

O enunciado pede que determinemos as impedâncias do circuito equivalente do transformador de 20\\ \mathrm{kVA},\\\ 8{.}000/240\\ \mathrm{V},\\\ 60\\ \mathrm{Hz}. Os dados medidos foram:
\begin{aligned} &\text{Ensaio a vazio (feito no secundário):}\\\ &V_{\mathrm{VZ}}=240\\ \mathrm{V},\quad I_{\mathrm{VZ}}=7{,}133\\ \mathrm{A},\quad P_{\mathrm{VZ}}=400\\ \mathrm{W}.\\[4pt] &\text{Ensaio de curto-circuito (feito no primário):}\\\ &V_{\mathrm{CC}}=489\\ \mathrm{V},\quad I_{\mathrm{CC}}=2{,}5\\ \mathrm{A},\quad P_{\mathrm{CC}}=240\\ \mathrm{W}. \end{aligned}áá
O que precisamos obter (explicitamente): as impedâncias do circuito equivalente (ramo magnetizante obtido no ensaio a vazio e impedância série obtida no ensaio de curto-circuito). Os ensaios foram feitos em lados diferentes, então teremos valores referidos ao secundário (do a vazio) e ao primário (do curto). Não começarei a resolver ainda, apenas deixei claro o que está dado e o que se pede.]

Passo 2

Entendendo o ensaio a vazio (didática rápida): quando aplicamos a tensão nominal ao lado de baixa tensão (aqui 240\\ \mathrm{V}) com o secundário aberto, a corrente medida I_0 é pequena e é composta por duas componentes fasoriais:
  • corrente de perda no ferro (perdas no núcleo), I_w, praticamente em fase com a tensão;
  • corrente de magnetização, I_m, praticamente em quadratura com a tensão.
As fórmulas importantes e o porquê:
  • A componente de perda no ferro é dada por
I_w=\frac{P_0}{V_0},
pois P_0 (potência medida no ensaio a vazio) é a potência dissipada no ramo do núcleo e a potência instantânea média associada é V_0 I_w\cos 0.
  • A resistência do núcleo (ramo de perdas) é então
R_c=\frac{V_0}{I_w}=\frac{V_0^2}{P_0},
porque R_c é aquela resistência que consumiria P_0 quando submetida à tensão V_0.
  • A componente de magnetização é a diferença fasorial entre a corrente total e a componente de perdas:
I_m=\sqrt{I_0^2-I_w^2},
pois assumimos I_0^2=I_w^2+I_m^2 (componentes ortogonais).
  • A reatância de magnetização é
X_m=\frac{V_0}{I_m}.
Agora aplicamos os números do ensaio a vazio (tudo no secundário):
Calcule I_w:
I_w=\frac{P_{\mathrm{VZ}}}{V_{\mathrm{VZ}}}=\frac{400}{240}=1{,}6667\\ \mathrm{A}.
Calcule R_c (ramo de perdas, no secundário):
R_c=\frac{V_{\mathrm{VZ}}^2}{P_{\mathrm{VZ}}}=\frac{240^2}{400}=\frac{57\;600}{400}=144\\ \Omega.
Calcule I_m:
I_m=\sqrt{I_{\mathrm{VZ}}^2-I_w^2}=\sqrt{7{,}133^2-1{,}6667^2}.
Vamos às contas passo a passo:
7{,}133^2=50{,}8797\quad\text{e}\quad 1{,}6667^2=2{,}7778,
I_m=\sqrt{50{,}8797-2{,}7778}=\sqrt{48{,}1019}=6{,}934\\ \mathrm{A}.
Finalmente calcule X_m (no secundário):
X_m=\frac{V_{\mathrm{VZ}}}{I_m}=\frac{240}{6{,}934}=34{,}61\\ \Omega\\ (\text{aprox.}).
Resumo até aqui (valores no lado secundário, obtidos do ensaio a vazio):
R_c^{(2)}=144\\ \Omega,\qquad X_m^{(2)}\approx 34{,}61\\ \Omega.

Passo 3

Entendendo o ensaio de curto-circuito (didática rápida): fechando o secundário e aplicando uma pequena tensão no primário até obter a corrente nominal, essa tensão reduzida só vence as quedas nos impedâncias série (perdas ôhmicas e reatâncias de fuga). Assim:
  • A impedância equivalente referida ao lado onde medimos é
Z'_{eq}=\frac{V_{\mathrm{CC}}}{I_{\mathrm{CC}}}.
  • A resistência série equivalente é obtida pela potência de curto:
R'_{eq}=\frac{P_{\mathrm{CC}}}{I_{\mathrm{CC}}^2},
pois P_{\mathrm{CC}} é a potência dissipada nas resistências série quando circula I_{\mathrm{CC}}.
  • A reatância série é então
X'_{eq}=\sqrt{Z_{eq}'^{\,2}-R_{eq}'^{\,2}}.
Aplicando os números (os dados do curto foram tomados no primário, então esses valores são referidos ao primário):
Calcule Z'_{eq}:
Z'_{eq}=\frac{V_{\mathrm{CC}}}{I_{\mathrm{CC}}}=\frac{489}{2{,}5}=195{,}6\\ \Omega.
Calcule R'_{eq}:
R'_{eq}=\frac{P_{\mathrm{CC}}}{I_{\mathrm{CC}}^2}=\frac{240}{(2{,}5)^2}=\frac{240}{6{,}25}=38{,}4\\ \Omega.
Calcule X'_{eq}:
X'_{eq}=\sqrt{195{,}6^2-38{,}4^2}.
Cálculo das potências:
195{,}6^2=38\;259{,}36,\qquad 38{,}4^2=1\;474{,}56,
X'_{eq}=\sqrt{38\;259{,}36-1\;474{,}56}=\sqrt{36\;784{,}8}=191{,}88\\ \Omega\\ (\text{aprox.}).
Resumo até aqui (valores referidos ao primário, do ensaio de curto):
R'_{eq}=38{,}4\\ \Omega,\qquad X'_{eq}\approx 191{,}9\\ \Omega,\qquad Z'_{eq}\approx 195{,}6\\ \Omega.

Passo 4

Relacionando os lados (relação de transformação): o número de espiras (ou a relação de tensões) é
a=\frac{V_1}{V_2}=\frac{8{.}000}{240}=33{,}3333\ldots
Para referir impedâncias entre lados usa-se Z_1=a^2 Z_2 (impedância no lado 2 referida ao lado 1) ou Z_2=Z_1/a^2 (impedância no lado 1 referida ao lado 2). Aqui a^2=(33{,}3333\ldots)^2=1\;111{,}1111\ldots.
Vamos obter também os valores referentes ao outro lado (útil para montar o circuito equivalente em qualquer lado):
a) Referir o ramo magnetizante obtido no secundário para o primário:
R_c^{(1)}=a^2 R_c^{(2)}=1\;111{,}1111\cdot 144=160\;000\\ \Omega,
X_m^{(1)}=a^2 X_m^{(2)}=1\;111{,}1111\cdot 34{,}61\approx 38\;460\\ \Omega.
Perceba como o ramo de magnetização fica enorme quando referido ao primário — isso mostra que, em curto-circuito (quando circula corrente nominal), o ramo de magnetização é desprezível em comparação com a impedância série.
b) Referir a impedância série do curto (que já está no primário) para o secundário:
R_{eq}^{(2)}=\frac{R'_{eq}}{a^2}=\frac{38{,}4}{1\;111{,}1111}=0{,}03456\\ \Omega,
X_{eq}^{(2)}=\frac{X'_{eq}}{a^2}=\frac{191{,}88}{1\;111{,}1111}=0{,}1727\\ \Omega,
Z_{eq}^{(2)}=\frac{Z'_{eq}}{a^2}=\frac{195{,}6}{1\;111{,}1111}=0{,}1760\\ \Omega.

Passo 5

Interpretação e conclusão prática (rápida e motivadora): os valores numéricos mostram que
  • o ramo magnetizante ( R_c,X_m ) é relativamente pequeno quando visto do lado secundário (onde foi medido) e muito grande quando referido ao primário;
  • a impedância série (resistiva e reativa de fuga) é a que domina durante curto-circuito e foi corretamente medida no primário.
Com isso você já pode montar o circuito equivalente em qualquer lado: usar o ramo shunt R_c^{(2)} e X_m^{(2)} no secundário e a série R'_{eq},X'_{eq} no primário, ou transformar tudo para um mesmo lado usando a^2.
Força — você já tem as fórmulas e os cálculos prontos para decorar e usar na prova. Vai dar certo!

Resposta

R_c^{(2)}=144\\ \Omega,\\ X_m^{(2)}\approx 34{,}61\\ \Omega
R'_{eq}=38{,}4\\ \Omega,\\ X'_{eq}\approx 191{,}9\\ \Omega,\\ Z'_{eq}\approx 195{,}6\\ \Omega
R_{eq}^{(2)}\approx 0{,}03456\\ \Omega,\\ X_{eq}^{(2)}\approx 0{,}1727\\ \Omega,\\ Z_{eq}^{(2)}\approx 0{,}1760\\ \Omega
R_c^{(1)}\approx 160\;000\\ \Omega,\\ X_m^{(1)}\approx 38\;460\\ \Omega

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