Um transformador trifásico é formado a partir de um banco de transformadores monofásicos. A ligação realizada é triângulo-triângulo é usado para abaixar a tensão de linha de 625 kV ,
para alimentar uma fábrica operando com uma tensão de linha de 12,5 k V. A fábrica absorve 40 M W com fator de potência (atrasado) igual a 85 \%. Determine:
a) a corrente absorvida pela fábrica;
b) a relação de espiras;
c) a corrente no primário do transformador;
d) a carga suportada por cada um dos transformadores.

Passo 1

O enunciado dá um transformador trifásico formado por um banco de três transformadores monofásicos ligados em triângulo-triângulo (Δ–Δ) e pede quatro coisas. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido:
Dados:
  • Tensão de linha no primário: \;V_{1L}=625\\ \mathrm{kV}.
  • Tensão de linha no secundário (fábrica): \;V_{2L}=12{,}5\\ \mathrm{kV}.
  • Potência ativa absorvida pela fábrica: \;P=40\\ \mathrm{MW}.
  • Fator de potência (atrasado): \;\mathrm{pf}=0{,}85.
  • Ligação: triângulo-triângulo (Δ–Δ), isto é, cada transformador monofásico tem enrolamentos primário e secundário em delta, e as tensões de linha correspondem às tensões de fase nos enrolamentos (em Δ a tensão de fase = tensão de linha).
Perguntas:
a) Qual a corrente absorvida pela fábrica (corrente de linha no secundário)?
b) Qual a relação de espiras (razão N_1/N_2) dos transformadores?
c) Qual a corrente no primário do transformador (corrente de linha no primário)?
d) Qual a carga suportada por cada um dos transformadores (em aparente, MVA ou A do enrolamento)?
A partir daqui começo a resolver passo a passo.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicado de forma didática):
  1. Potência aparente trifásica total \;S (módulo) relaciona potência ativa e fator de potência:
S=\frac{P}{\mathrm{pf}}.
Aqui S tem unidade de VA (ou MVA), P é potência ativa (W ou MW) e \mathrm{pf} é número adimensional entre 0 e 1.
  1. Relacionamento entre potência aparente, tensão de linha e corrente de linha em sistema trifásico equilibrado:
S=\sqrt{3}\,V_L\,I_L,
onde V_L é a tensão de linha (linha a linha) e I_L é a corrente de linha. Esta fórmula vem da soma das potências nas três fases e é válida para ligações em estrela ou triângulo desde que V_L e I_L sejam os valores de linha correspondentes.
  1. Em ligação triângulo (Δ):
  • A tensão de fase do enrolamento é igual à tensão de linha: V_{phase}=V_L.
  • A corrente de linha está relacionada com a corrente de fase por I_L=\sqrt{3}\,I_{phase}.
  • Cada transformador monofásico do banco suporta uma terceira parte da potência aparente total (em regime equilibrado), ou seja, S_{por\\ transformador}=S/3. Vou justificar isso: o banco trifásico divide a potência trifásica em três transformadores idênticos conectados em Δ; pela simetria, cada um fornece um terço da potência aparente.
Usando essas fórmulas vamos calcular passo a passo os itens pedidos.

Passo 3

Calcular a potência aparente total \;S:
Usando \;S=\dfrac{P}{\mathrm{pf}} com P=40\\ \mathrm{MW} e \mathrm{pf}=0{,}85:
S=\frac{40\\\ 000\\\ 000\\ \mathrm{W}}{0{,}85}=47\\\ 058\\\ 823{,}529\\ \mathrm{VA}\approx 47{,}06\\ \mathrm{MVA}.
Explicação: converti 40\\ \mathrm{MW} para 40\\\ 000\\\ 000\\ \mathrm{W} para calcular em VA; o resultado arredondei para três dígitos significativos em MVA.

Passo 4

Item (a): corrente absorvida pela fábrica — corrente de linha no secundário \;I_{2L}.
Usamos \;S=\sqrt{3}\,V_{2L}\,I_{2L}, então
I_{2L}=\frac{S}{\sqrt{3}\,V_{2L}}.
Substituindo valores ( V_{2L}=12{,}5\\ \mathrm{kV}=12\\\ 500\\ \mathrm{V} e S do passo anterior):
I_{2L}=\frac{47\\\ 058\\\ 823{,}529}{\sqrt{3}\times 12\\\ 500}.
Calculemos numericamente: \sqrt{3}\approx 1{,}73205, então o denominador é 1{,}73205\times 12\\\ 500=21\\\ 650{,}625. Logo
I_{2L}\approx\frac{47\\\ 058\\\ 823{,}529}{21\\\ 650{,}625}\approx 2\\\ 173\\ \mathrm{A}.
Interpretação: a fábrica troca com a rede uma corrente de linha de aproximadamente \;2{,}17\\ \mathrm{kA}; por ser fator de potência atrasado, essa corrente está defasada em relação à tensão (mas aqui só precisamos do módulo).

Passo 5

Item (b): relação de espiras a=\dfrac{N_1}{N_2}.
Em um transformador ideal monofásico a razão de tensões entre primário e secundário é igual à razão de espiras:
\frac{V_{1}}{V_{2}}=\frac{N_1}{N_2}=a.
No banco Δ–Δ cada enrolamento vê a tensão de linha como tensão de fase (em Δ V_{fase}=V_{linha}), portanto podemos usar diretamente as tensões de linha dadas:
a=\frac{N_1}{N_2}=\frac{V_{1L}}{V_{2L}}=\frac{625\\ \mathrm{kV}}{12{,}5\\ \mathrm{kV}}=\frac{625}{12{,}5}=50.
Conclusão: a relação de espiras é \;a=50, ou seja, N_1:N_2=50:1.

Passo 6

Item (c): corrente no primário do transformador — corrente de linha no primário \;I_{1L}.
Podemos obter \;I_{1L} de duas maneiras equivalentes:
Método direto com potência aparente:
I_{1L}=\frac{S}{\sqrt{3}\,V_{1L}}.
Substituindo V_{1L}=625\\ \mathrm{kV}=625\\\ 000\\ \mathrm{V} e S do passo 3:
I_{1L}=\frac{47\\\ 058\\\ 823{,}529}{\sqrt{3}\times 625\\\ 000}.
Calcule o denominador: \sqrt{3}\times 625\\\ 000\approx 1{,}73205\times 625\\\ 000=1\\\ 082\\\ 531{,}25. Assim
I_{1L}\approx\frac{47\\\ 058\\\ 823{,}529}{1\\\ 082\\\ 531{,}25}\approx 43{,}48\\ \mathrm{A}.
Método alternativo (cheque de consistência) usando a razão de espiras:
Em Δ–Δ a tensão e corrente de linha escalam aproximadamente pela relação de transformação para correntes lineares: I_{1L}\approx I_{2L}/a. Usando I_{2L}\approx 2\\\ 173\\ \mathrm{A} e a=50:
I_{1L}\approx\frac{2\\\ 173}{50}\approx 43{,}46\\ \mathrm{A},
o que bate com o resultado anterior dentro do arredondamento. Portanto \;I_{1L}\approx 43{,}48\\ \mathrm{A}.

Passo 7

Item (d): carga suportada por cada um dos transformadores (apparent power por transformador) e corrente nos enrolamentos de cada transformador.
  1. Potência aparente por transformador:
    Como o banco trifásico tem três transformadores idênticos e a condição é equilibrada, cada transformador fornece \;1/3 da potência aparente total:
S_{t}=\frac{S}{3}=\frac{47{,}058\\\ 823{,}529\\ \mathrm{VA}}{3}\approx 15\\\ 686\\\ 274{,}51\\ \mathrm{VA}\approx 15{,}69\\ \mathrm{MVA}.
Explicação: isto é direto pela simetria do banco trifásico.
  1. Correntes em cada enrolamento (úteis para dimensionamento):
  • No secundário de cada transformador (corrente de fase do delta): como em Δ I_{phase}=\dfrac{I_{line}}{\sqrt{3}}, temos
I_{t,sec}=\frac{I_{2L}}{\sqrt{3}}=\frac{2\\\ 173}{1{,}73205}\approx 1\\\ 255\\ \mathrm{A}.
Isto é a corrente que circula no enrolamento secundário de cada transformador.
  • No primário de cada transformador (corrente de fase do delta no primário):
I_{t,pri}=\frac{I_{1L}}{\sqrt{3}}=\frac{43{,}48}{1{,}73205}\approx 25{,}10\\ \mathrm{A}.
Resumo: cada transformador suporta cerca de \;15{,}69\\ \mathrm{MVA}, com correntes de enrolamento secundário de aproximadamente \;1{,}255\\ \mathrm{kA} e de primário de aproximadamente \;25{,}10\\ \mathrm{A}.

Resposta

(a) I_{2L}\approx 2\\\ 173\\ \mathrm{A}.
(b) \dfrac{N_1}{N_2}=a=\dfrac{V_{1L}}{V_{2L}}=\dfrac{625\\ \mathrm{kV}}{12{,}5\\ \mathrm{kV}}=50.
(c) I_{1L}\approx 43{,}48\\ \mathrm{A}.
(d) S_{por\\ transformador}\approx 15{,}69\\ \mathrm{MVA} (correspondendo a I_{t,sec}\approx 1{,}255\\ \mathrm{kA} no secundário do transformador e I_{t,pri}\approx 25{,}10\\ \mathrm{A} no primário).

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