1. Um impressor concordou em imprimir 135000 cópias de um pequeno cartão de propaganda. Ele gasta 12 reais por hora com o funcionamento da prensa, que produz 600 impressões por hora. Em cada impressão são impressos n cartões, onde n é o número de eletrotipos ( cópias metálicas de coleção de tipos) usados na impressão. Cada eletrotipo custa para ele 3 reais. Quantos eletrotipos deve ele usar em sua prensa para minimizar o custo do trabalho?
Número de horas para imprimir os 135000 cartões:
\frac{135000}{600 n}
Logo, o custo de produção dos 135000 cartões será C(n)=12 \frac{225}{n}+3 n. Procuramos os pontos críticos de C(n), assim
\frac{d C}{d n}=-\frac{2700}{n^{2}}+3=0 \Longrightarrow n=30
Logo, temos que utilizar n=30 eletrotipos para minimizar os custos.

Passo 1

O enunciado pede para imprimir 135000 cartões usando uma prensa que gasta 12 reais por hora e faz 600 impressões por hora. Em cada impressão saem n cartões e cada eletrotipo custa 3 reais. Queremos escolher n de modo a minimizar o custo total. O que vamos usar é modelagem de custo e otimização via derivada.

Passo 2

Primeiro, calculamos o tempo de funcionamento da prensa. Como cada hora faz 600 impressões e cada impressão rende n cartões, o número de horas necessárias é
\frac{135000}{600\,n}\,.
O custo de operação da prensa é 12 reais por hora. Logo, esse custo é
12 \times \frac{135000}{600\,n} =12 \times \frac{225}{n} =\frac{2700}{n}\,.
O custo dos eletrotipos, sendo n eletrotipos a 3 reais cada, é
3\,n\,.
Portanto, a função custo total C(n) fica
C(n)=\frac{2700}{n}+3\,n\,.

Passo 3

Para achar o n que minimiza C(n), derivamos em relação a n e igualamos a zero:
\frac{dC}{dn} =-\frac{2700}{n^{2}}+3 \quad\Longrightarrow\quad -\frac{2700}{n^{2}}+3=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{2700}{n^{2}}=3 \quad\Longrightarrow\quad n^{2}=900 \quad\Longrightarrow\quad n=30
(Desprezamos a raiz negativa pois n é número de eletrotipos.)

Resposta

Deve-se usar 30 eletrotipos para minimizar o custo.

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