- Um impressor concordou em imprimir 135000 cópias de um pequeno cartão de propaganda. Ele gasta 12 reais por hora com o funcionamento da prensa, que produz 600 impressões por hora. Em cada impressão são impressos n cartões, onde n é o número de eletrotipos ( cópias metálicas de coleção de tipos) usados na impressão. Cada eletrotipo custa para ele 3 reais. Quantos eletrotipos deve ele usar em sua prensa para minimizar o custo do trabalho?
Número de horas para imprimir os 135000 cartões:
Logo, o custo de produção dos 135000 cartões será
. Procuramos os pontos críticos de
, assim
Logo, temos que utilizar
eletrotipos para minimizar os custos.
Passo 1
O enunciado pede para imprimir
cartões usando uma prensa que gasta
reais por hora e faz
impressões por hora. Em cada impressão saem
cartões e cada eletrotipo custa
reais. Queremos escolher
de modo a minimizar o custo total. O que vamos usar é modelagem de custo e otimização via derivada.
Passo 2
Primeiro, calculamos o tempo de funcionamento da prensa. Como cada hora faz
impressões e cada impressão rende
cartões, o número de horas necessárias é
O custo de operação da prensa é
reais por hora. Logo, esse custo é
O custo dos eletrotipos, sendo
eletrotipos a
reais cada, é
Portanto, a função custo total
fica
Passo 3
Para achar o
que minimiza
, derivamos em relação a
e igualamos a zero:
(Desprezamos a raiz negativa pois
é número de eletrotipos.)
Resposta
Deve-se usar
eletrotipos para minimizar o custo.