Em uma impressora a jato de tinta, pequenas gotas de tinta são lançadas horizontalmente ao longo do eixo x com velocidade constante v_{0}=20 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Cada gota tem massa m= 1,4 \times 10^{-11} \mathrm{kge}, ao passar por uma unidade eletrostática, perde alguns elétrons e adquire carga elétrica q. Em seguida, a gota entra entre duas placas defletoras paralelas, onde existe um campo elétrico uniforme e vertical de módulo E=8,0 \times 10^{4} \mathrm{~N} / \mathrm{C}. O trecho com campo tem comprimento L=2,0 \mathrm{~cm}. Após sair dessa região, a gota percorre mais D=6,0 cmaté atingir o papel, onde não há campo elétrico. Considere o movimento sem resistência do ar e use g \approx Opara o curto intervalo considerado.
a) Qual deve ser o módulo da carga q para que a gota sofra um deslocamento vertical de 0,30 mmao final das placas (isto é, na saída da região de campo)?
b) Indique o sinal de q necessário para que a gota seja desviada para cima ao passar entre as placas.
c) Com o valor de q obtido no item (a), determine o deslocamento vertical adicional da gota na região sem campo (no trecho de comprimento D ) e a posição vertical total em que ela atinge o papel, medida a partir do eixo que passa pelo centro das placas.
d) Se o comprimento das placas fosse reduzido para L^{\prime}=1,0 \mathrm{~cm} (mantendo E, v_{0} e miguais), qual deveria ser o novo valor do campo elétrico para obter o mesmo desvio de 0,30 \mathrm{mmna} saída?
Dica útil: no trecho com campo, a aceleração vertical é a=\frac{q E}{m} e o tempo de travessia das placas é t= \frac{L}{v_{0}}. No trecho sem campo, a componente vertical da velocidade permanece constante.

Passo 1

O enunciado dá uma gota de tinta que entra horizontalmente com velocidade \,v_{0}=20\\ \mathrm{m/s}, massa \,m=1,4\times10^{-11}\\ \mathrm{kg}. Ao atravessar uma região entre placas há um campo elétrico uniforme vertical de módulo \,E=8,0\times10^{4}\\ \mathrm{N/C} ao longo de um comprimento \,L=2,0\\ \mathrm{cm}=0,02\\ \mathrm{m}. Depois das placas a gota percorre mais \,D=6,0\\ \mathrm{cm}=0,06\\ \mathrm{m} até o papel, onde não há campo. Para o intervalo considerado podemos desprezar a gravidade.
As perguntas são:
a) Calcular o módulo da carga \,q para que a gota sofra um deslocamento vertical de \,0,30\\ \mathrm{mm}=0,00030\\ \mathrm{m} ao final das placas (na saída da região de campo).
b) Indicar o sinal de \,q necessário para que a gota seja desviada para cima ao passar entre as placas.
c) Com o \,q do item (a), determinar o deslocamento vertical adicional na região sem campo (trecho \,D) e a posição vertical total em que a gota atinge o papel, medida a partir do eixo que passa pelo centro das placas.
d) Se o comprimento das placas fosse \,L'=1,0\\ \mathrm{cm}=0,01\\ \mathrm{m} (mantendo \,E, v_{0} e \,m iguais), qual deveria ser o novo valor do campo elétrico para obter o mesmo desvio de \,0,30\\ \mathrm{mm} na saída?

Passo 2

Princípios e fórmulas que vamos usar (explicadinhos):
  • A força elétrica sobre a gota é \,F=qE. Isso vem da lei básica da força elétrica: carga \,q em campo \,E sente força \,qE (direção e sentido dados por q e por E).
  • Pela 2ª lei de Newton, a aceleração vertical da gota na região do campo é
a=\frac{qE}{m},
onde \,a é a aceleração vertical (m/s ^2), \,q a carga (C), \,E o campo (N/C) e \,m a massa (kg).
  • Movimento vertical nas placas: a componente vertical da velocidade inicial é nula ( v_{y0}=0). Para movimento retilíneo uniformemente acelerado (MRUA) valem as fórmulas clássicas. A que mais usaremos é a do deslocamento:
y=\frac{1}{2} a t^{2},
onde \,t é o tempo que a gota leva para atravessar as placas. Aqui y será o deslocamento vertical durante a travessia das placas.
  • Tempo de travessia das placas (horizontal): a velocidade horizontal é constante \,v_{0}, logo
t=\frac{L}{v_{0}}.
  • Ao sair das placas (região sem campo) a aceleração vertical é zero e a componente vertical da velocidade torna-se constante, igual a \,v_{y} = a t. Então no trecho sem campo, o deslocamento vertical adicional é
y_{\text{sem}}=v_{y}\,t_{2},
onde \,t_{2}=\frac{D}{v_{0}} é o tempo gasto no trecho sem campo.

Passo 3

Calculemos o tempo que a gota leva para atravessar as placas ( t):
t=\frac{L}{v_{0}}=\frac{0,02\\ \mathrm{m}}{20\\ \mathrm{m/s}}=0,001\\ \mathrm{s}.

Passo 4

Queremos que o deslocamento vertical ao sair das placas seja \,y_{1}=0,00030\\ \mathrm{m}. Usando y_{1}=\tfrac{1}{2} a t^{2} e a=\tfrac{qE}{m}, temos
y_{1}=\frac{1}{2}\left(\frac{qE}{m}\right)t^{2}.
Isolando \,q:
q=\frac{2 m y_{1}}{E t^{2}}.
Agora substituímos os valores numéricos (calcule passo a passo):
  • 2 m y_{1}=2\cdot(1,4\times10^{-11})\cdot(0,00030)=8,4\times10^{-15}\\ \mathrm{kg\cdot m}.
  • E t^{2}=(8,0\times10^{4})\cdot(0,001)^{2}=(8,0\times10^{4})\cdot(1,0\times10^{-6})=0,08.
    Portanto
q=\frac{8,4\times10^{-15}}{0,08}=1,05\times10^{-13}\\ \mathrm{C}.
Conclusão do item (a): o módulo da carga necessário é \,1,05\times10^{-13}\\ \mathrm{C} (aproximadamente \,1,1\times10^{-13}\\ \mathrm{C}).

Passo 5

Sinal de \,q para desviar para cima: a força elétrica é \,F=qE e seu sentido é o do produto vetorial (aqui simples: se E aponta para cima, então q>0 dá força para cima; se E aponta para baixo, então q<0 dá força para cima). Como o enunciado só deu o módulo de \,E e não a direção vertical (para cima ou para baixo), a condição necessária é:
  • Para que a gota seja desviada para cima, o produto \,qE deve ser para cima. Logo se o campo \,E aponta para cima, precisa-se de \,q>0; se \,E aponta para baixo, precisa-se de \,q<0.

Passo 6

Primeiro calculemos a aceleração vertical durante as placas com o \,q encontrado:
a=\frac{qE}{m}=\frac{(1,05\times10^{-13})(8,0\times10^{4})}{1,4\times10^{-11}}.
Calcule por partes:
  • Numerador: (1,05\times10^{-13})\,(8,0\times10^{4})=8,4\times10^{-9}.
  • Dividindo por 1,4\times10^{-11}
a=600\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Velocidade vertical ao sair das placas:
v_{y}=a t=600\cdot0,001=0,60\\ \mathrm{m/s}.
Tempo no trecho sem campo:
t_{2}=\frac{D}{v_{0}}=\frac{0,06\\ \mathrm{m}}{20\\ \mathrm{m/s}}=0,003\\ \mathrm{s}.
Deslocamento vertical adicional no trecho sem campo:
y_{2}=v_{y} t_{2}=0,60\cdot0,003=0,0018\\ \mathrm{m}=1,80\\ \mathrm{mm}.
Deslocamento total ao atingir o papel (a partir do eixo central das placas) é
y_{\text{total}}=y_{1}+y_{2}=0,00030+0,0018=0,00210\\ \mathrm{m}=2,10\\ \mathrm{mm}.

Passo 7

Agora L'=0,01\\ \mathrm{m}. Queremos o mesmo desvio na saída \,y_{1}=0,00030\\ \mathrm{m} mantendo a mesma carga \,q=1,05\times10^{-13}\\ \mathrm{C}. O tempo de travessia passa a ser
t'=\frac{L'}{v_{0}}=\frac{0,01}{20}=0,0005\\ \mathrm{s}.
Usando y_{1}=\tfrac{1}{2}(qE'/m)t'^{2} e isolando E':
E'=\frac{2 m y_{1}}{q t'^{2}}.
Já sabemos 2 m y_{1}=8,4\times10^{-15}. Calculamos q t'^{2}=(1,05\times10^{-13})(0,0005)^{2}=(1,05\times10^{-13})(2,5\times10^{-7})=2,625\times10^{-20}. Portanto
E'=\frac{8,4\times10^{-15}}{2,625\times10^{-20}}=3,20\times10^{5}\\ \mathrm{N/C}.

Resposta

(a) \,q=1,05\times10^{-13}\\ \mathrm{C}.
(b) Para desviar a gota para cima é necessário que qE aponte para cima; logo, se E aponta para cima precisa-se de q>0 e se E aponta para baixo precisa-se de q<0.
(c) Deslocamento adicional na região sem campo: \,y_{2}=1,80\\ \mathrm{mm}. Posição total ao atingir o papel: \,y_{\text{total}}=2,10\\ \mathrm{mm} acima do eixo central.
(d) \,E'=3,20\times10^{5}\\ \mathrm{N/C}.

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