In each of the following parts, find a numerical value for div \mathbf{D} at the point specified:
\mathbf{D}=\left(2 x y z-y^{2}\right) \mathbf{a}_{x}+\left(x^{2} z-2 x y\right) \mathbf{a}_{y}+x^{2} y \mathbf{a}_{z} \mathrm{C} / \mathrm{m}^{2} at P_{A}(2,3,-1)

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\mathbf{D}=(2xyz - y^2)\,\mathbf{a}_x + (x^2z - 2xy)\,\mathbf{a}_y + (x^2y)\,\mathbf{a}_z
e pede o valor de \nabla\cdot\mathbf{D} no ponto P_A(2,3,-1).
O conteúdo usado é o cálculo da divergência pela soma das derivadas parciais de cada componente.

Passo 2

A divergência é dada por
\nabla\cdot\mathbf{D} =\frac{\partial}{\partial x}(2xyz - y^2) +\frac{\partial}{\partial y}(x^2z - 2xy) +\frac{\partial}{\partial z}(x^2y).
Calculando cada termo:
\displaystyle \frac{\partial}{\partial x}(2xyz - y^2)=2yz,
\displaystyle \frac{\partial}{\partial y}(x^2z - 2xy)=-2x,
\displaystyle \frac{\partial}{\partial z}(x^2y)=0.
Logo
\nabla\cdot\mathbf{D}=2yz-2x.

Passo 3

Substituindo x=2, y=3 e z=-1:
\nabla\cdot\mathbf{D}\big|_{(2,3,-1)} =2\cdot3\cdot(-1)-2\cdot2 =-6-4 =-10.

Resposta

\nabla\cdot\mathbf{D}(2,3,-1)=-10 (unidade de \mathrm{C}/\mathrm{m}^3)

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