In Exercises 57 and 58, define
f(0,0)
in a way that extends
f
to be continuous at the origin.
f(x, y)=\frac{3 x^{2} y}{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede que a gente estenda a função
f(x,y) = \frac{3x^{2}y}{x^{2}+y^{2}} \quad\text{para}\;(x,y)\neq(0,0)
definindo um valor para f(0,0) de modo que f fique contínua na origem. O conteúdo aqui é cálculo de limite em duas variáveis e condição de continuidade.

Passo 2

Para testar a existência do limite \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y), é conveniente passar para coordenadas polares. Seja
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,
com r\ge0 e \theta\in[0,2\pi). Então
x^2+y^2 = r^2,
e
3x^2y = 3\bigl(r\cos\theta\bigr)^2\bigl(r\sin\theta\bigr) =3r^3\cos^2\theta\sin\theta.
Logo, para (x,y)\neq(0,0),
f(x,y) = \frac{3r^3\cos^2\theta\sin\theta}{r^2} =3r\cos^2\theta\sin\theta.

Passo 3

Agora avaliamos o módulo de f(x,y):
\bigl|f(x,y)\bigr| = \bigl|3r\cos^2\theta\sin\theta\bigr| \le 3r\;\bigl|\cos^2\theta\,\sin\theta\bigr| \le 3r,
pois \bigl|\cos^2\theta\,\sin\theta\bigr|\le1. Quando (x,y)\to(0,0), temos r\to0, então
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\bigl|f(x,y)\bigr|\le\lim_{r\to0}3r=0.
Pelo teorema do confronto, isso implica
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0.

Passo 4

Para que f seja contínua na origem, devemos definir
f(0,0)=\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0.

Resposta

Defina f(0,0)=0.

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