In Problems 1-8 solve the wave equation (1) subject to the given conditions.
4. u(0, t)=0, u(pi, t)=0
u(x, 0)=16 x(pi^2-x^2), partial upartial t|t=0=0

Passo 1

O problema pede para resolver a equação da onda
utt=c^2,uxx, 0<x<pi,;t>0
com condições de contorno
u(0,t)=0, u(pi,t)=0
e condições iniciais
u(x,0)=16,xl(pi^2-x^2r), ut(x,0)=0
O método necessário é separação de variáveis e séries de Fourier em senos.

Passo 2

Procuramos solução da forma
u(x,t)=sumn=1^inftyl(Ancos(nct)+Bnsin(nct)r),sin(nx)
Essa forma satisfaz automaticamente u(0,t)=u(pi,t)=0 pois sin(ncdot0)=sin(npi)=0.

Passo 3

Da condição ut(x,0)=0 vem
ut(x,0)=sumn=1^infty l(-n c,Ansin(0)+n c,Bncos(0)r)sin(nx) =sumn=1^infty n c,Bn,sin(nx)=0,
logo Bn=0 para todo n.

Passo 4

Da condição u(x,0)=f(x)=16x(pi^2-x^2) obtemos
f(x)=sumn=1^infty Ansin(nx), An=2piintegral0^pif(x)sin(nx),dx =2picdot16integral0^pix(pi^2-x^2)sin(nx),dx

Passo 5

Calculemos
I1=integral0^pixsin(nx),dx =-pi(-1)^nn,
I2=integral0^pix^3sin(nx),dx =(-1)^nl(-pi^3n+6pin^3r)
Então
integral0^pix(pi^2-x^2)sin(nx),dx =pi^2I1-I2 =-6pi(-1)^nn^3
Substituindo em An:
An =2picdot16,l(-6pi(-1)^nn^3r) =-2(-1)^nn^3

Passo 6

Como Bn=0, a solução final fica
u(x,t)=sumn=1^inftyAncos(nct),sin(nx) =sumn=1^inftyl(-2(-1)^nn^3r)cos(nct),sin(nx)

Resposta

u(x,t) =sumn=1^infty2(-1)^n+1n^3,cos(nct),sin(nx)

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