In Problems
solve the wave equation (1) subject to the given conditions.
5.
5.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação da onda
no intervalo
0<x<pi com condições de contorno
e condições iniciais
Vamos usar separação de variáveis e séries de Fourier para obter a solução.
Passo 2
Procuramos solução na forma
u(x,t)=X(x),T(t) . Substituindo em
utt=uxx obtemos
Da parte em
x vem o problema de autovalores
cuja solução não-trivial existe para
lambdan=n^2 e
Passo 3
Da parte em
t ficamos com
cuja solução geral é
Passo 4
Pela linearidade, a solução geral é a soma dos modos:
Passo 5
Usando
u(x,0)=0 temos
Usando
ut(x,0)=sin x obtemos
Comparando séries de Fourier, só o termo
n=1 aparece, logo
e
Bn=0 para
nneq1 .
Passo 6
Substituindo
An=0 e
Bn na série, a solução fica