In Problems 1-8 solve the wave equation (1) subject to the given conditions.
5. u(0, t)=0, u(pi, t)=0
u(x, 0)=0, partial upartial t|t=0=sin x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação da onda
utt=uxx
no intervalo 0<x<pi com condições de contorno
u(0,t)=0, u(pi,t)=0,
e condições iniciais
u(x,0)=0, ut(x,0)=sin x
Vamos usar separação de variáveis e séries de Fourier para obter a solução.

Passo 2

Procuramos solução na forma u(x,t)=X(x),T(t). Substituindo em utt=uxx obtemos
X(x),T''(t)=X''(x),T(t) ;Longrightarrow; X''(x)X(x)=T''(t)T(t)=-lambda
Da parte em x vem o problema de autovalores
X''+lambda X=0, X(0)=0,;X(pi)=0,
cuja solução não-trivial existe para lambdan=n^2 e
Xn(x)=sin(nx), n=1,2,3,dots .

Passo 3

Da parte em t ficamos com
T''+n^2,T=0,
cuja solução geral é
Tn(t)=Ancos(n t)+Bnsin(n t)

Passo 4

Pela linearidade, a solução geral é a soma dos modos:
u(x,t)=sumn=1^inftyl(Ancos(n t)+Bnsin(n t)r)sin(nx)

Passo 5

Usando u(x,0)=0 temos
sumn=1^inftyAnsin(nx)=0 Longrightarrow An=0;forall n
Usando ut(x,0)=sin x obtemos
ut(x,t)=sumn=1^inftyn,Bncos(n t),sin(nx) ;Longrightarrow; ut(x,0)=sumn=1^inftyn,Bnsin(nx)=sin x
Comparando séries de Fourier, só o termo n=1 aparece, logo
1cdot B1=1Longrightarrow B1=1,
e Bn=0 para nneq1.

Passo 6

Substituindo An=0 e Bn na série, a solução fica
u(x,t)=B1sin(t)sin(x)=sin x,sin t

Resposta

u(x,t)=sin x,sin t

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