1. A inclinação da reta tangente a uma curva em qualquer ponto é dado por 3 x^{2}+5. Encontre a equação da curva se ela contém o ponto (3,8).
Seja f(x) a curva, logo:
f(x)=\int\left(3 x^{2}+5\right) d x=x^{3}+5 x+k
\operatorname{Em} f(3)=27+15+k=8 \Rightarrow k=-34

Passo 1

O enunciado diz que a inclinação da reta tangente a uma curva f é dada por
f'(x)=3x^{2}+5
e pede a equação de f(x) sabendo que ela passa por (3,8). O que precisamos aqui é usar integração indefinida para obter f(x) e depois ajustar a constante pela condição inicial.

Passo 2

Para encontrar f(x), integramos f'(x):
f(x)=\int\bigl(3x^{2}+5\bigr)\,dx =\int 3x^{2}\,dx + \int 5\,dx =x^{3}+5x + k.

Passo 3

Agora usamos a condição f(3)=8 para determinar k:
f(3)=3^{3}+5\cdot3 + k = 27 + 15 + k = 8 \quad\Longrightarrow\quad k=8 - 42 = -34.

Resposta

f(x)=x^{3}+5x-34.

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