1. Um poço de petróleo extrai petróleo a uma taxa de R^{\prime}(t)=70+4.5 t-0.5 t^{2}, t em horas.
Encontre a fórmula para a produção total após t horas.
R(t)=\int R^{\prime}(t) d t
R(t)=\int\left(70+4.5 t-0.5 t^{2}\right) d t
R(t)=70 t+\frac{4.5}{2} t^{2}-\frac{0.5}{3} t^{3}+k
\operatorname{Em} R(0)=0 \Rightarrow k=0

Passo 1

O enunciado nos dá a taxa de extração de petróleo
R'(t)=70+4{,}5\,t-0{,}5\,t^{2},
em que t está em horas, e pede a produção total R(t) em função de t. O conteúdo aqui é cálculo de primitiva (antiderivada) de uma função polinomial.

Passo 2

Para encontrar R(t), integramos termo a termo:
\int 70\,dt = 70\,t,
\int 4{,}5\,t\,dt = 4{,}5\;\frac{t^{2}}{2} = \frac{4{,}5}{2}\,t^{2},
\int -0{,}5\,t^{2}\,dt = -0{,}5\;\frac{t^{3}}{3} = -\frac{0{,}5}{3}\,t^{3}.

Passo 3

Somando as primitivas e adicionando a constante de integração C, obtemos
R(t)=70\,t+\frac{4{,}5}{2}\,t^{2}-\frac{0{,}5}{3}\,t^{3}+C.

Passo 4

Usamos a condição física de que não há produção antes de começar a extrair, ou seja,
R(0)=0.
Substituindo t=0 na fórmula acima dá 0+C=0, logo C=0.

Resposta

R(t)=70\,t+\frac{4{,}5}{2}\,t^{2}-\frac{0{,}5}{3}\,t^{3}.
Opcionalmente, escrevendo em frações simples:
R(t)=70\,t+\frac{9}{4}\,t^{2}-\frac{1}{6}\,t^{3}.

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