Indicar quais das seguintes sentenças são verdadeiras (V) ou falsas (F). Justifique sua resposta.
Seja B uma matriz fixa em \mathcal{M}_{2 \times 2}(\mathbb{R}). A matriz identidade I_{2 \times 2} pertence ao subespaço W=\{X \in \left.\mathcal{M}_{2 \times 2}(\mathbb{R}) ; X B-B X=0\right\}.

Passo 1

O enunciado define o subespaço
W = \{X \in \mathcal{M}_{2\times2}(\mathbb{R}) \mid X\,B - B\,X = 0\}
e pergunta se a matriz identidade \,I_{2\times2} pertence a W.

Passo 2

Para ver se I_{2\times2}\in W, computamos
I_{2\times2}\,B = B \quad\text{e}\quad B\,I_{2\times2} = B,
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I_{2\times2}\,B - B\,I_{2\times2} = B - B = 0.
Isso mostra que I_{2\times2} comuta com B e satisfaz a condição de W.

Resposta

(V) Porque I_{2\times2}B - B\,I_{2\times2}=0, logo I_{2\times2}\in W.

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