Indicar quais das seguintes sentenças são verdadeiras
ou falsas
. Justifique sua resposta.
O gráfico da função
, definido por
é subespaço vetorial de
.
O gráfico da função
Passo 1
O enunciado dá o gráfico da função
,
,
isto é
isto é
e pergunta se
é subespaço vetorial de
. Para isso, vamos usar a definição: um subconjunto de
é subespaço vetorial se e somente se
- contém o vetor nulo;
- é fechado sob soma de vetores;
- é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos o primeiro item. O vetor nulo em
é
. Como
temos
. Logo, o gráfico contém o vetor zero.
Passo 3
Basta mostrar que falha a fechamento sob soma (ou escalares). Tomemos
porque
e porque
.
A soma desses vetores é
e
A soma desses vetores é
Para estar em
, o segundo componente teria de ser
, mas é
. Logo
, e o conjunto não é fechado sob adição.
Resposta
(F)
O gráfico de não é subespaço vetorial de
.
O gráfico de