Indicar quais das seguintes sentenças são verdadeiras (V) ou falsas (F). Justifique sua resposta.
O gráfico da função f, definido por
Gr(f)=\{(x, y) ; y=f(x)=|x|\}
é subespaço vetorial de \mathbb{R}^{2}.

Passo 1

O enunciado dá o gráfico da função f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=\lvert x\rvert,
isto é
Gr(f)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid y=\lvert x\rvert\},
e pergunta se Gr(f) é subespaço vetorial de \mathbb{R}^2. Para isso, vamos usar a definição: um subconjunto de \mathbb{R}^2 é subespaço vetorial se e somente se
  1. contém o vetor nulo;
  2. é fechado sob soma de vetores;
  3. é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos o primeiro item. O vetor nulo em \mathbb{R}^2 é (0,0). Como
f(0)=\lvert 0\rvert=0,
temos (0,0)\in Gr(f). Logo, o gráfico contém o vetor zero.

Passo 3

Basta mostrar que falha a fechamento sob soma (ou escalares). Tomemos (1,1)\in Gr(f) porque 1=\lvert 1\rvert
e (-1,1)\in Gr(f) porque 1=\lvert -1\rvert.
A soma desses vetores é
(1,1)+(-1,1)=(0,2).
Para estar em Gr(f), o segundo componente teria de ser \lvert 0\rvert=0, mas é 2. Logo (0,2)\notin Gr(f), e o conjunto não é fechado sob adição.

Resposta

(F)
O gráfico de f(x)=\lvert x\rvert não é subespaço vetorial de \mathbb{R}^2.

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