Índice de material para uma viga leve e forte Em aplicações limitadas por rigidez, a deflexão elástica é a restrição ativa: ela limita o desempenho. Em aplicações limitadas por resistência, a deflexão é aceitável desde que o componente não falhe; a resistência é a restrição ativa. Deduza o índice de material para selecionar materiais para uma viga de comprimento L, resistência especificada e peso mínimo. Por simplicidade, considere que a viga tem seção transversal sólida quadrada t times t. Você precisará da equação para a carga de falha de uma viga:
Ff=I sigmafym L
onde ym é a distância entre o eixo neutro da viga e seu filamento externo e I=t^4 / 12=A^2 / 12 é o momento de segunda ordem da seção transversal.

Passo 1

Vamos lá! Você me enviou um exercício sobre seleção de materiais para uma viga com comprimento L, resistência especificada e peso mínimo. A gente vai trabalhar com conceitos de resistência dos materiais e otimização de estruturas. Precisamos usar a equação da carga de falha da viga e entender como minimizar o peso escolhendo o melhor material.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação da carga de falha que foi dada:
Ff = I sigmafym L
Aqui:
  • Ff é a carga máxima que a viga pode suportar antes de falhar.
  • I é o momento de inércia da seção transversal da viga.
  • sigmaf é a tensão de falha do material.
  • ym é a distância do eixo neutro até a fibra mais externa da viga.
  • L é o comprimento da viga.

Passo 3

Sabemos que a viga tem uma seção transversal quadrada de lado t, então podemos calcular o momento de inércia I:
I = t^412
Também, a área A da seção é t times t = t^2, então podemos relacionar I e A como:
I = A^212
Isso vai nos ajudar a expressar outras variáveis em termos de t.

Passo 4

O peso da viga é uma função da densidade do material ( rho), da área da seção transversal ( A) e do comprimento ( L):
Peso = rho times A times L = rho times t^2 times L
Nosso objetivo é minimizar esse peso, sujeito à restrição de que a viga não falhe sob uma carga especificada.

Passo 5

Vamos reescrever a equação da carga de falha para isolar I:
I = Ff ym Lsigmaf
Substituindo I por t^412:
t^412 = Ff ym Lsigmaf
Agora, vamos resolver para t:
t^4 = 12 Ff ym Lsigmaf
t = ( 12 Ff ym Lsigmaf )^1/4

Passo 6

Agora, substituímos t na equação do peso:
Peso = rho times t^2 times L = rho times ( 12 Ff ym Lsigmaf )^1/2 times L
Simplificando:
Peso = rho times L times ( 12 Ff ym Lsigmaf )^1/2

Passo 7

Para minimizar o peso, precisamos encontrar uma relação que envolva as propriedades do material. Reorganizando a equação:
Peso = rho times L times ( 12 Ff ym Lsigmaf )^1/2
Podemos definir um índice de material M que seja mínimo quando o peso for mínimo:
M = rhoraizsigmaf
Esse índice relaciona a densidade do material com a sua resistência à falha.

Resposta

O índice de material para selecionar materiais que garantam resistência especificada e peso mínimo para a viga é:
M = rhoraizsigmaf
Ou seja, devemos escolher o material com o menor valor de M para obter o peso mínimo da viga.

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