Índice de material para uma viga leve e forte Em aplicações limitadas por rigidez, a deflexão elástica é a restrição ativa: ela limita o desempenho. Em aplicações limitadas por resistência, a deflexão é aceitável desde que o componente não falhe; a resistência é a restrição ativa. Deduza o índice de material para selecionar materiais para uma viga de comprimento
, resistência especificada e peso mínimo. Por simplicidade, considere que a viga tem seção transversal sólida quadrada
. Você precisará da equação para a carga de falha de uma viga:
onde
é a distância entre o eixo neutro da viga e seu filamento externo e
é o momento de segunda ordem da seção transversal.
Passo 1
Vamos lá! Você me enviou um exercício sobre seleção de materiais para uma viga com comprimento
, resistência especificada e peso mínimo. A gente vai trabalhar com conceitos de resistência dos materiais e otimização de estruturas. Precisamos usar a equação da carga de falha da viga e entender como minimizar o peso escolhendo o melhor material.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação da carga de falha que foi dada:
Aqui:
-
é a carga máxima que a viga pode suportar antes de falhar. -
é o momento de inércia da seção transversal da viga. -
é a tensão de falha do material. -
é a distância do eixo neutro até a fibra mais externa da viga. -
é o comprimento da viga.
Passo 3
Sabemos que a viga tem uma seção transversal quadrada de lado
, então podemos calcular o momento de inércia
:
Também, a área
da seção é
, então podemos relacionar
e
como:
Isso vai nos ajudar a expressar outras variáveis em termos de
.
Passo 4
O peso da viga é uma função da densidade do material (
), da área da seção transversal (
) e do comprimento (
):
Nosso objetivo é minimizar esse peso, sujeito à restrição de que a viga não falhe sob uma carga especificada.
Passo 5
Vamos reescrever a equação da carga de falha para isolar
:
Substituindo
por
:
Agora, vamos resolver para
:
Passo 6
Agora, substituímos
na equação do peso:
Simplificando:
Passo 7
Para minimizar o peso, precisamos encontrar uma relação que envolva as propriedades do material. Reorganizando a equação:
Podemos definir um índice de material
que seja mínimo quando o peso for mínimo:
Esse índice relaciona a densidade do material com a sua resistência à falha.
Resposta
O índice de material para selecionar materiais que garantam resistência especificada e peso mínimo para a viga é:
Ou seja, devemos escolher o material com o menor valor de
para obter o peso mínimo da viga.