Índice de material para uma coluna rígida e barata. Nos dois exercícios anteriores, o objetivo foi minimizar peso. Há muitos outros. Na seleção de um material para uma mola, o objetivo é o de maximizar a energia elástica que ela pode armazenar. Ao procurar materiais para isolamento térmico eficiente de um forno, os melhores são os que têm a condutividade térmica e a capacidade térmica mais baixas. E o mais comum de todos é o desejo de minimizar custo. Portanto, aqui damos um exemplo que envolve custo.
Colunas suportam cargas de compressão: as pernas de uma mesa, os pilares do Parthenon. Deduza o índice para selecionar materiais para a coluna cilíndrica mais barata de altura especificada,
, que suportará com segurança uma carga
sem sofrer flambagem elástica. Você precisará da equação para a carga
à qual uma coluna delgada sofre flambagem:
onde
é uma constante que depende das restrições impostas à extremidade da coluna e
é o momento de segunda ordem de área da coluna.
Colunas suportam cargas de compressão: as pernas de uma mesa, os pilares do Parthenon. Deduza o índice para selecionar materiais para a coluna cilíndrica mais barata de altura especificada,
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre como escolher o material mais barato para uma coluna cilíndrica que precisa suportar uma carga específica sem sofrer flambagem. O assunto envolve mecânica dos materiais, especialmente o estudo da estabilidade estrutural. Para resolver isso, vamos precisar entender a fórmula da carga crítica (
) que faz a coluna flambear e como relacionar isso ao custo do material.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar a fórmula da carga crítica que faz uma coluna delgada flambear:
Aqui:
-
é a carga crítica. -
é uma constante que depende de como as extremidades da coluna estão apoiadas. -
é o módulo de elasticidade do material. -
é o momento de inércia da área da seção transversal da coluna. -
é a altura da coluna.
Passo 3
A coluna deve suportar uma carga
sem flambear, ou seja, a carga que aplicamos
deve ser menor ou igual à carga crítica
. Então, estabelecemos:
Para garantir segurança, vamos igualar
a
:
Passo 4
Sabemos que o momento de inércia
para uma coluna cilíndrica é dado por:
Onde
é o raio da coluna e
é a área da seção transversal. Como a coluna é cilíndrica, relacionamos
com
.
Passo 5
Substituindo
na equação da carga crítica:
Passo 6
Agora, queremos minimizar o custo da coluna. O custo
de uma coluna é geralmente proporcional ao volume
e ao custo por unidade de volume
:
Assim, nosso objetivo é minimizar
.
Passo 7
Vamos isolar
da equação da carga crítica:
Passo 8
Substituindo
na equação do custo:
Passo 9
Para minimizar o custo
, devemos maximizar
porque
está no denominador. No entanto, o índice de material que queremos deduzir deve relacionar propriedades do material que influenciam o custo e a capacidade de suportar a carga.
Passo 10
Rearranjando a equação do custo:
Isso sugere que para minimizar o custo, devemos escolher materiais com o maior módulo de elasticidade
possível, pois isso reduzirá o custo.
Resposta
O índice para selecionar o material mais barato para a coluna cilíndrica é inversamente proporcional à raiz quadrada do módulo de elasticidade
. Portanto, devemos escolher materiais que tenham um alto módulo de elasticidade
para minimizar o custo enquanto suportam a carga
sem flambagem. O índice pode ser representado por: