Índice de material para uma coluna rígida e barata. Nos dois exercícios anteriores, o objetivo foi minimizar peso. Há muitos outros. Na seleção de um material para uma mola, o objetivo é o de maximizar a energia elástica que ela pode armazenar. Ao procurar materiais para isolamento térmico eficiente de um forno, os melhores são os que têm a condutividade térmica e a capacidade térmica mais baixas. E o mais comum de todos é o desejo de minimizar custo. Portanto, aqui damos um exemplo que envolve custo.
Colunas suportam cargas de compressão: as pernas de uma mesa, os pilares do Parthenon. Deduza o índice para selecionar materiais para a coluna cilíndrica mais barata de altura especificada, H, que suportará com segurança uma carga F sem sofrer flambagem elástica. Você precisará da equação para a carga F crit à qual uma coluna delgada sofre flambagem:
F crit =n^2 pi^2 E IH^2
onde n é uma constante que depende das restrições impostas à extremidade da coluna e I=pi r^4 / 4=A^2 / 4 pi é o momento de segunda ordem de área da coluna.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre como escolher o material mais barato para uma coluna cilíndrica que precisa suportar uma carga específica sem sofrer flambagem. O assunto envolve mecânica dos materiais, especialmente o estudo da estabilidade estrutural. Para resolver isso, vamos precisar entender a fórmula da carga crítica ( ) que faz a coluna flambear e como relacionar isso ao custo do material.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a fórmula da carga crítica que faz uma coluna delgada flambear:
Fcrit = n^2 pi^2 E IH^2
Aqui:
  • é a carga crítica.
  • é uma constante que depende de como as extremidades da coluna estão apoiadas.
  • é o módulo de elasticidade do material.
  • é o momento de inércia da área da seção transversal da coluna.
  • é a altura da coluna.

Passo 3

A coluna deve suportar uma carga F <= n^2 pi^2 E IH^2 sem flambear, ou seja, a carga que aplicamos F = n^2 pi^2 E IH^2 deve ser menor ou igual à carga crítica . Então, estabelecemos:
Para garantir segurança, vamos igualar a :

Passo 4

Sabemos que o momento de inércia I = pi r^44 = A^24 pi para uma coluna cilíndrica é dado por:
Onde é o raio da coluna e é a área da seção transversal. Como a coluna é cilíndrica, relacionamos com .

Passo 5

Substituindo F = n^2 pi^2 E (A^24 pi)H^2 = n^2 pi E A^24 H^2 na equação da carga crítica:

Passo 6

Agora, queremos minimizar o custo da coluna. O custo C = c V = c A H de uma coluna é geralmente proporcional ao volume e ao custo por unidade de volume :
Assim, nosso objetivo é minimizar .

Passo 7

Vamos isolar F = n^2 pi E A^24 H^2 A^2 = 4 F H^2n^2 pi E A = raiz4 F H^2n^2 pi E da equação da carga crítica:

Passo 8

Substituindo C = c H raiz4 F H^2n^2 pi E = c H cdot 2 raizF Hn raizpi E C = 2 c raizF H^2n raizpi E na equação do custo:

Passo 9

Para minimizar o custo , devemos maximizar porque está no denominador. No entanto, o índice de material que queremos deduzir deve relacionar propriedades do material que influenciam o custo e a capacidade de suportar a carga.

Passo 10

Rearranjando a equação do custo:
C propto 1raizE
Isso sugere que para minimizar o custo, devemos escolher materiais com o maior módulo de elasticidade possível, pois isso reduzirá o custo.

Resposta

O índice para selecionar o material mais barato para a coluna cilíndrica é inversamente proporcional à raiz quadrada do módulo de elasticidade Índice propto 1raizE . Portanto, devemos escolher materiais que tenham um alto módulo de elasticidade para minimizar o custo enquanto suportam a carga sem flambagem. O índice pode ser representado por:
Í

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