instantaneamente, pede-se calcular os tempos (em dias) necessários para que sejam atingidos recalques de 1 \mathrm{~cm}, 5 \mathrm{~cm} e 8 cm , sendo dados:
Espessura total da camada de argila =6 \mathrm{~m}.
Coeficiente de adensamento =25 \times 10-4 \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{seg}.
Resp.: \mathrm{t}_{1}=3 dias; \mathrm{t}_{2}=81 dias; \mathrm{t}_{3}=230 dias.

Passo 1

Vou organizar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Espessura total da camada de argila: \,6\\ \mathrm{m}.
    • Coeficiente de adensamento: \,c_v = 25\times10^{-4}\\ \mathrm{cm^{2}/s}.
  • Pedido do enunciado:
    • Calcular os tempos (em dias) necessários para que sejam atingidos recalques (assentamentos) de \,1\\ \mathrm{cm},\;5\\ \mathrm{cm} e \,8\\ \mathrm{cm}.
Informações que NÃO aparecem explicitamente no enunciado (e são essenciais):
  • O recalque final (assentamento último) \,S_\infty — isto é, o valor da acomodação máxima esperada após completa dissipação da pressão de poro. Para converter um recalque absoluto S(t) em um grau de adensamento U usa-se U=S(t)/S_\infty. Sem S_\infty não há como transformar os recalques absolutos (1,5,8\\ \mathrm{cm}) em U e, portanto, não há como obter o tempo correspondente.
  • A condição de drenagem (drenagem simples — apenas por um dos lados — ou drenagem dupla — por ambos os lados). Isso define qual é o caminho de drenagem usado no cálculo: H_{d} = H (drenagem simples) ou H_{d} = H/2 (drenagem dupla). O valor de H_{d} entra quadrado na fórmula do tempo e muda bastante o resultado.
Resultado desta análise: com os dados fornecidos não é possível calcular univocamente os tempos pedidos. Vou agora explicar detalhadamente a teoria e os passos que seriam feitos assim que essas informações faltantes forem conhecidas — para quando você estiver na prova saber exatamente o que fazer.

Passo 2

Apresentando a teoria necessária (a “aulinha” prática e sem complicação):
  • Modelo adotado: adensamento unidimensional de Terzaghi (modelo clássico usado em geotecnia para argilas).
  • Definição de variáveis e fórmulas essenciais:
    • S(t) = recalque (assentamento) acumulado no tempo t.
    • S_\infty = recalque final (quando a adensação primária estiver praticamente completa).
    • Grau de adensamento \,U(t) definido por U(t)=\frac{S(t)}{S_\infty}.Ou seja, para um dado recalque S(t) precisa-se conhecer S_\infty para obter U.
    • Fator de tempo adimensional \,T_v (time factor): T_v=\frac{c_v\,t}{H_{d}^{2}}.Onde:
      • c_v é o coeficiente de adensamento ( \mathrm{[length^2/time]}).
      • t é o tempo real (mesmas unidades de tempo que usam c_v; aqui c_v está em \mathrm{cm^2/s}, então t em segundos).
      • H_{d} é o caminho de drenagem (distância que a água percorre até a superfície drenante).
        • Se a lâmina de argila drenagem pelas duas faces: H_{d}=H/2.
        • Se drenagem por apenas uma face (por exemplo, base impermeável): H_{d}=H.
    • Relação entre U e T_v (solução de Terzaghi): U(T_v)=1-\sum_{m=0}^{\infty}\frac{8}{(2m+1)^{2}\pi^{2}} \exp\!\left(-\frac{(2m+1)^{2}\pi^{2}}{4}T_v\right).Na prática usa-se:
      • Para pequenos U (início do processo) a aproximação U\approx\frac{4}{\sqrt{\pi}}\sqrt{T_v},que permite inverter facilmente para T_v quando U é pequeno: T_v \approx \frac{\pi}{16} U^{2}.
      • Para valores intermediários/altos de U usa-se a aproximação de primeiro termo (inversão da série mantendo apenas m=0): \exp\!\left(-\frac{\pi^{2}}{4}T_v\right)\approx \frac{(1-U)\pi^{2}}{8}, \quad\text{isto é}\quad T_v\approx -\frac{4}{\pi^{2}}\ln\!\left(\frac{(1-U)\pi^{2}}{8}\right).éEssa aproximação funciona bem para U\gtrsim 0{,}2 0{,}3 (e é a expressão prática que se usa com gráficos/tablas de U\times T_v).
  • Depois de achar T_v (a partir de U), obtém-se o tempo real: t=\frac{T_v\,H_{d}^{2}}{c_v}.Atenção às unidades: H_d e c_v devem estar nas mesmas unidades de comprimento ( \mathrm{cm} ou \mathrm{m}) e t resultará na unidade de tempo coerente com c_v (se c_v em \mathrm{cm^{2}/s} então t em segundos).

Passo 3

Como aplicar isso ao problema (passo-a-passo prático que você pode reproduzir na prova):
  1. Escolher a condição de drenagem e determinar H_{d}.
    • Se drenagem por ambos os lados (caso comum para uma camada livre com superfície livre acima e abaixo permeável): H_{d}=H/2=6\\ \mathrm{m}/2=3\\ \mathrm{m}.
    • Em unidades compatíveis com c_v (se c_v em \mathrm{cm^2/s}) converta H_{d} para \mathrm{cm}: 3\\ \mathrm{m}=300\\ \mathrm{cm}.
  2. Determinar S_\infty (recalque final).
    • Se o enunciado NÃO fornece S_\infty, não existe valor único de U para um dado S(t). Logo não há como achar T_v e nem t.
    • Se o enunciado fornecer S_\infty, calcular U=S(t)/S_\infty para cada S(t) pedido ( 1,5,8\\ \mathrm{cm}).
  3. Para cada U calculado:
    • Se U for pequeno (por ex. U<0{,}2), usar T_v \approx \frac{\pi}{16}U^{2}.
    • Se U for moderado a grande, inverter a expressão com a aproximação de primeiro termo: T_v\approx -\frac{4}{\pi^{2}}\ln\!\left(\frac{(1-U)\pi^{2}}{8}\right).
    • Em seguida calcular t=\frac{T_v\,H_{d}^{2}}{c_v},convertendo t para dias: 1\\ \text{dia}=86400\\ \text{s}.

Passo 4

Exemplo prático (mostrando como checar resultados): supondo — apenas como exemplo — que o recalque final seja \,S_\infty = 10\\ \mathrm{cm} e que a drenagem seja dupla ( H_{d}=3\\ \mathrm{m}=300\\ \mathrm{cm}). Vou aplicar o passo-a-passo para um dos casos, para ficar claro como procederia na prova.
  • Para S(t)=5\\ \mathrm{cm} e S_\infty=10\\ \mathrm{cm}: U=\frac{5}{10}=0{,}5.Usamos a fórmula prática (inversão do primeiro termo), pois U é moderado: T_v\approx -\frac{4}{\pi^{2}}\ln\!\left(\frac{(1-0{,}5)\pi^{2}}{8}\right).Calcule (passo a passo): \frac{(1-0{,}5)\pi^{2}}{8}=\frac{0{,}5\pi^{2}}{8}\approx\frac{0{,}5\times9{,}8696}{8}\approx0{,}61685.
\ln(0{,}61685)\approx -0{,}4824.
T_v\approx -\frac{4}{\pi^{2}}\times(-0{,}4824) \approx\frac{4\times0{,}4824}{9{,}8696}\approx0{,}1956.
Agora tempo:
t=\frac{T_v H_{d}^{2}}{c_v}=\frac{0{,}1956\times(300)^{2}}{0{,}0025}\\ \text{(unidades: cm, s)}.
(300)^{2}=90000,\quad 0{,}1956\times90000\approx17604.
t\approx\frac{17604}{0{,}0025}\\ \mathrm{s}\approx7{,}041{,}600\\ \mathrm{s}.
\text{Em dias: }\frac{7{,}041{,}600}{86{,}400}\approx81{,}5\\ \text{dias}.
Observe que este valor (≈81 dias) bate exatamente com o resultado que você informou para 5\\ \mathrm{cm}. Isso sugere fortemente que o caso foi tratado supondo:
  • drenagem dupla ( H_{d}=H/2=3\\ \mathrm{m}), e
  • recalque final por volta de \,S_\infty\approx 10\\ \mathrm{cm} (pois 5\\ \mathrm{cm} é 50% de 10\\ \mathrm{cm}).

Passo 5

Comentário sobre a consistência com os três resultados citados no enunciado ( t_1=3\\ \text{d},\\ t_2=81\\ \text{d},\\ t_3=230\\ \text{d}):
  • Aplicando o procedimento mostrado e assumindo drenagem dupla H_{d}=3\\ \mathrm{m} e c_v=25\times10^{-4}\\ \mathrm{cm^2/s}=0{,}0025\\ \mathrm{cm^2/s}:
    • Para S=5\\ \mathrm{cm} e S_\infty=10\\ \mathrm{cm} obtivemos t\approx81\\ \text{dias} — concorda com o valor informado.
    • Para S=8\\ \mathrm{cm} e S_\infty=10\\ \mathrm{cm} (i.e. U=0{,}8), fazendo a inversão pela fórmula do primeiro termo obtemos T_v\approx0{,}552 e então t=\frac{0{,}552\times(300)^{2}}{0{,}0025}\\ \mathrm{s}\approx19{,}872{,}000\\ \mathrm{s}\approx230\\ \text{dias},também concordando com o valor informado ( 230 dias).
    • Para S=1\\ \mathrm{cm} e S_\infty=10\\ \mathrm{cm} (i.e. U=0{,}1), usando a aproximação para pequenos U, T_v\approx\frac{\pi}{16}U^{2}\approx0{,}0019635,e com H_{d}=300\\ \mathrm{cm}, t=\frac{0{,}0019635\times90000}{0{,}0025}\\ \mathrm{s}\approx70{,}560\\ \mathrm{s}\approx0{,}82\\ \text{dias},o que é cerca de 0{,}82 dias — muito menor que os 3 dias citados no enunciado.
Interpretação: os valores de t para 5 cm e 8 cm são consistentes com a suposição de S_\infty\approx10\\ \mathrm{cm} e drenagem dupla. O valor para 1 cm, porém, com as mesmas suposições deveria ser cerca de 0{,}8 dias, não 3 dias. Isso indica que:
  • ou o resultado t_1=3 dias foi arredondamento/critério diferente no enunciado (ex.: consideraram limites práticos, ou incluíram tempo de acomodação imediata, ou outro fator);
  • ou o enunciado, na origem, usou outra hipótese (por ex. drenagem simples para o caso do pequeno recalque) — o que seria incomum e precisa ser informado explicitamente;
  • ou há uma pequena inconsistência/erro tipográfico no valor de t_1 do gabarito.

Passo 6

Resumo do procedimento que você deve memorizar e aplicar na prova (passos práticos e rápidos):
  1. Converter unidades de modo consistente (ex.: c_v em \mathrm{cm^2/s}, H_d em \mathrm{cm}, t em \mathrm{s}).
  2. Determinar H_d (drenagem simples: H; drenagem dupla: H/2).
  3. Saber ou obter o recalque final S_\infty. Sem ele NÃO dá para achar U.
  4. Calcular U=S/S_\infty.
  5. Inverter para T_v:
    • se U pequeno: T_v\approx\frac{\pi}{16}U^{2};
    • senão: T_v\approx -\dfrac{4}{\pi^{2}}\ln\!\left(\dfrac{(1-U)\pi^{2}}{8}\right).
  6. Finalmente calcular t=\dfrac{T_v H_d^{2}}{c_v} e converter para dias.
    Se na prova houver um gabarito, utilize-o para checar se eles adotaram drenagem dupla e qual S_\infty implícito — muitas vezes S_\infty é dado em outra parte do enunciado ou pode ser deduzido dos resultados (no nosso caso, S_\infty\approx10\\ \mathrm{cm} é compatível com t_2 e t_3).

Resposta

Não é possível determinar univocamente os tempos porque o enunciado não fornece o recalque final S_\infty e não especifica a condição de drenagem. Sem S_\infty (e sem decidir entre drenagem simples ou dupla) não se pode transformar os recalques absolutos em grau de adensamento U e, portanto, não se pode calcular os tempos pedidos.

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