- Um edifício A apresentou um recalque total de 30 cm (estimado). No fim de três anos o recalque medido foi de 10 cm . Calcular para um idêntico edificio, B , o recalque total e também o recalque no fim de três anos.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo claramente para não nos perder):
- Para o edifício A: o recalque total estimado é
. - Para o edifício A: o recalque medido ao fim de
anos foi . - Os dois edifícios são idênticos (mesma carga, mesmas características de fundação e solo, exceto a espessura do estrato indicada na figura).
- Da figura (peguei este dado da imagem) temos a relação entre espessuras:
.
O que o problema pede:
- Calcular para o edifício B o recalque total
. - Calcular para o edifício B o recalque ao fim de
anos .
Passo 2
Vamos escolher um modelo simples e apropriado (não se assuste, eu explico cada parte): para solos coesivos sujeitos a adensamento primário, o recalque total devido ao adensamento é diretamente proporcional à espessura do estrato comprimível quando as demais condições (esforço, compressibilidade) são iguais. Ou seja, se tudo mais é igual,
Isso significa que, para o edifício B, cujo estrato é
vezes mais espesso que o do A (usei o valor da imagem), o recalque total será
vezes o de A. Vou usar isso em seguida.
Observação física curta: a proporcionalidade vem do fato de que o comprimento do estrato sujeito a compressão aumenta; se o parâmetro de compressibilidade (por exemplo,
por unidade de tensão) for o mesmo, aumentar
aumenta linearmente a soma das compressões de cada lâmina. É uma ideia direta e muito usada em exercícios rápidos.
Passo 3
Cálculo do recalque total de
usando a proporcionalidade
. Peguei
da imagem.
Passo 4
Agora precisamos do recalque aos
anos para
. Primeiro calculamos a fração do adensamento já ocorrida em A aos
anos (grau de adensamento parcial):
Essa é a fração do recalque total que já ocorreu em A aos 3 anos.
Passo 5
Agora uma breve aulazinha prática sobre tempo de adensamento (não precisa decorar tudo, só o que usamos): para adensamento por escoamento de água de um estrato, define-se o fator de tempo
onde:
-
é o coeficiente de adensamento (muito usado em geotecnia; mede a velocidade do escoamento consolidador), -
é o tempo (aqui anos), -
é o caminho de drenagem (distância que a água deve percorrer até um dreno).
Se o estrato drena pelas duas faces (dupla drenagem), o caminho de drenagem é
. Para tempos não muito grandes (regime inicial a médio, típico de exercícios), existe uma aproximação bem conhecida que relaciona
com
(para pequena a moderada
):
Nesta fórmula:
-
é o grau de adensamento (fração, entre e ), - a aproximação é a solução assintótica para tempos iniciais e é frequentemente usada em problemas de prova por ser simples e razoavelmente precisa para
até valores médios.
No nosso caso a figura mostra (e estou assumindo) drenagem pelas duas faces (estrato com drenagem superior e inferior), então usaremos
. Se o problema tivesse drenagem apenas por uma face, a conclusão mudaria, mas a figura sugere dupla drenagem.
Passo 6
Usamos a aproximação para inverter
em função de
. Para
,
Substituindo
:
(Se quiser um valor numérico aproximado:
e então
.)
Passo 7
Relacione o
de
ao de
. Lembre que
. Se
e
forem os mesmos para A e B (mesmo solo e mesmo tempo de observação), então
Como estamos assumindo dupla drenagem,
Logo
e
Passo 8
Agora obtemos
pela mesma aproximação
. Assim
Este passo é importante: a raiz quadrada da razão dos
dá exatamente o fator
. Numericamente,
ou seja, cerca de
do recalque total terá ocorrido em
aos
anos.
Passo 9
Finalmente o recalque em
anos para
é
Usando
e
temos uma simplificação bonita:
Portanto
Interpretação em palavras (curta e motivadora): apesar de
ter recalque total maior (porque o estrato é mais espesso), a fração do adensamento já ocorrida em
anos é menor justamente na razão inversa, de modo que o produto (fração × total) dá o mesmo valor numérico de
. Legal, né? A conta fecha por causa dessas dependências quadráticas do tempo de drenagem.
Passo 10
Resumo final do raciocínio (prático para prova):
- Recalque total escala com
: . - Grau de adensamento já atingido em
: . - Para dupla drenagem e mesma
, o fator tempo escala com , então a fração em B fica . - Produto
simplifica para , então .
Força aí — esse tipo de raciocínio linear/geométrico cai bastante em prova: identificar proporcionalidades e como o tempo de drenagem depende de
é a chave. Você mandou bem chegando até aqui!