1. Um edifício A apresentou um recalque total de 30 cm (estimado). No fim de três anos o recalque medido foi de 10 cm . Calcular para um idêntico edificio, B , o recalque total e também o recalque no fim de três anos.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo claramente para não nos perder):
  • Para o edifício A: o recalque total estimado é 30\\ \text{cm}.
  • Para o edifício A: o recalque medido ao fim de 3 anos foi 10\\ \text{cm}.
  • Os dois edifícios são idênticos (mesma carga, mesmas características de fundação e solo, exceto a espessura do estrato indicada na figura).
  • Da figura (peguei este dado da imagem) temos a relação entre espessuras: h_B = 1,5\,h_A.
O que o problema pede:
  • Calcular para o edifício B o recalque total S_B.
  • Calcular para o edifício B o recalque ao fim de 3 anos s_B(3\\ \text{anos}).

Passo 2

Vamos escolher um modelo simples e apropriado (não se assuste, eu explico cada parte): para solos coesivos sujeitos a adensamento primário, o recalque total devido ao adensamento é diretamente proporcional à espessura do estrato comprimível quando as demais condições (esforço, compressibilidade) são iguais. Ou seja, se tudo mais é igual,
S \propto h.
Isso significa que, para o edifício B, cujo estrato é 1{,}5 vezes mais espesso que o do A (usei o valor da imagem), o recalque total será 1{,}5 vezes o de A. Vou usar isso em seguida.
Observação física curta: a proporcionalidade vem do fato de que o comprimento do estrato sujeito a compressão aumenta; se o parâmetro de compressibilidade (por exemplo, \Delta e/(1+e_0) por unidade de tensão) for o mesmo, aumentar h aumenta linearmente a soma das compressões de cada lâmina. É uma ideia direta e muito usada em exercícios rápidos.

Passo 3

Cálculo do recalque total de B usando a proporcionalidade S_B = \dfrac{h_B}{h_A} S_A. Peguei \dfrac{h_B}{h_A}=1{,}5 da imagem.
S_B = 1{,}5 \cdot S_A = 1{,}5 \cdot 30\\ \text{cm} = 45\\ \text{cm}.

Passo 4

Agora precisamos do recalque aos 3 anos para B. Primeiro calculamos a fração do adensamento já ocorrida em A aos 3 anos (grau de adensamento parcial):
U_A = \frac{s_A(3\\ \text{anos})}{S_A} = \frac{10\\ \text{cm}}{30\\ \text{cm}} = \frac{1}{3} \approx 0,333\ldots
Essa é a fração do recalque total que já ocorreu em A aos 3 anos.

Passo 5

Agora uma breve aulazinha prática sobre tempo de adensamento (não precisa decorar tudo, só o que usamos): para adensamento por escoamento de água de um estrato, define-se o fator de tempo
T_v = \frac{c_v\,t}{H^2},
onde:
  • c_v é o coeficiente de adensamento (muito usado em geotecnia; mede a velocidade do escoamento consolidador),
  • t é o tempo (aqui 3 anos),
  • H é o caminho de drenagem (distância que a água deve percorrer até um dreno).
Se o estrato drena pelas duas faces (dupla drenagem), o caminho de drenagem é H = h/2. Para tempos não muito grandes (regime inicial a médio, típico de exercícios), existe uma aproximação bem conhecida que relaciona U com T_v (para pequena a moderada U):
U \approx \frac{4}{\pi}\sqrt{T_v}.
Nesta fórmula:
  • U é o grau de adensamento (fração, entre 0 e 1),
  • a aproximação é a solução assintótica para tempos iniciais e é frequentemente usada em problemas de prova por ser simples e razoavelmente precisa para U até valores médios.
No nosso caso a figura mostra (e estou assumindo) drenagem pelas duas faces (estrato com drenagem superior e inferior), então usaremos H = h/2. Se o problema tivesse drenagem apenas por uma face, a conclusão mudaria, mas a figura sugere dupla drenagem.

Passo 6

Usamos a aproximação para inverter U em função de T_v. Para A,
U_A \approx \frac{4}{\pi}\sqrt{T_{vA}} \quad\Rightarrow\quad T_{vA} \approx \left(\frac{\pi}{4}\right)^2 U_A^2.
Substituindo U_A=\tfrac{1}{3}:
T_{vA} \approx \left(\frac{\pi}{4}\right)^2 \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{\pi^2}{16}\cdot\frac{1}{9}.
(Se quiser um valor numérico aproximado: \left(\frac{\pi}{4}\right)^2\approx 0{,}61685 e então T_{vA}\approx 0{,}61685\cdot\frac{1}{9}\approx 0{,}06854.)

Passo 7

Relacione o T_v de B ao de A. Lembre que T_v=\dfrac{c_v t}{H^2}. Se c_v e t forem os mesmos para A e B (mesmo solo e mesmo tempo de observação), então
\frac{T_{vB}}{T_{vA}} = \left(\frac{H_A}{H_B}\right)^2.
Como estamos assumindo dupla drenagem,
H_A = \frac{h_A}{2},\qquad H_B=\frac{h_B}{2}=\frac{1{,}5\,h_A}{2}=1{,}5\cdot\frac{h_A}{2}.
Logo
\frac{H_A}{H_B}=\frac{1}{1{,}5}=\frac{2}{3},
e
T_{vB} = T_{vA}\left(\frac{2}{3}\right)^2 = T_{vA}\cdot\frac{4}{9} = \frac{T_{vA}}{2{,}25}.

Passo 8

Agora obtemos U_B pela mesma aproximação U\approx \dfrac{4}{\pi}\sqrt{T_v}. Assim
U_B \approx \frac{4}{\pi}\sqrt{T_{vB}} = \frac{4}{\pi}\sqrt{\frac{T_{vA}}{2{,}25}} = \frac{1}{1{,}5}\cdot\frac{4}{\pi}\sqrt{T_{vA}} = \frac{U_A}{1{,}5}.
Este passo é importante: a raiz quadrada da razão dos H^2 dá exatamente o fator 1/1{,}5. Numericamente,
U_B = \frac{1}{1{,}5}\cdot\frac{1}{3} = \frac{1}{4{,}5} \approx 0{,}2222\ldots
ou seja, cerca de 22{,}22\% do recalque total terá ocorrido em B aos 3 anos.

Passo 9

Finalmente o recalque em 3 anos para B é
s_B(3\\ \text{anos}) = U_B\cdot S_B.
Usando U_B = \dfrac{U_A}{1{,}5} e S_B = 1{,}5\,S_A temos uma simplificação bonita:
s_B(3\\ \text{anos}) = \frac{U_A}{1{,}5}\cdot (1{,}5\,S_A) = U_A\cdot S_A = s_A(3\\ \text{anos}).
Portanto
s_B(3\\ \text{anos}) = s_A(3\\ \text{anos}) = 10\\ \text{cm}.
Interpretação em palavras (curta e motivadora): apesar de B ter recalque total maior (porque o estrato é mais espesso), a fração do adensamento já ocorrida em 3 anos é menor justamente na razão inversa, de modo que o produto (fração × total) dá o mesmo valor numérico de 10\\ \text{cm}. Legal, né? A conta fecha por causa dessas dependências quadráticas do tempo de drenagem.

Passo 10

Resumo final do raciocínio (prático para prova):
  • Recalque total escala com h: S_B = 1{,}5 S_A = 45\\ \text{cm}.
  • Grau de adensamento já atingido em A: U_A = 10/30 = 1/3.
  • Para dupla drenagem e mesma c_v, o fator tempo escala com 1/H^2, então a fração U em B fica U_B=U_A/1{,}5.
  • Produto U_B S_B simplifica para U_A S_A = 10\\ \text{cm}, então s_B(3\\ \text{anos})=10\\ \text{cm}.
Força aí — esse tipo de raciocínio linear/geométrico cai bastante em prova: identificar proporcionalidades e como o tempo de drenagem depende de h é a chave. Você mandou bem chegando até aqui!

Resposta

S_B = 45\\ \text{cm}
s_B(3\\ \text{anos}) = 10\\ \text{cm}

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