Índices de materiais para vigas elásticas com restrições diferentes. Inicie cada uma das quatro partes desse problema fazendo a lista de função, objetivo e restrições. Você precisará das equações para a deflexão de uma viga em balanço de seção transversal quadrada
, dadas no Apêndice B.3. As duas que importam são a para deflexão
de uma viga de comprimento
sob uma carga
aplicada à sua extremidade:
e a para a deflexão de uma viga sob uma carga distribuída
por unidade de comprimento:
(a)
onde
. Para uma viga carregada por peso próprio
, onde
é a densidade do material da viga,
é a área da seção transversal e
é a aceleração da gravidade.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre calcular índices de materiais para vigas elásticas que têm diferentes restrições. A matéria envolvida aqui é Mecânica dos Materiais, especificamente o estudo de deflexão de vigas. Para resolver isso, vamos precisar usar as equações que dão a deflexão (
) de uma viga quando ela está sob uma carga aplicada ou uma carga distribuída. Além disso, vamos precisar entender um pouquinho sobre momentos de inércia e como eles se relacionam com a geometria da seção da viga.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar das duas equações principais que o enunciado forneceu:
- Para uma carga concentrada
na extremidade da viga:
- Para uma carga distribuída
por unidade de comprimento:
Aqui,
é o comprimento da viga,
é o módulo de elasticidade do material,
é o momento de inércia da seção transversal da viga.
Passo 3
Vamos focar na segunda equação, que trata da carga distribuída. O enunciado também nos diz que a carga distribuída
é igual ao peso próprio da viga, que é dado por:
Onde:
-
é a densidade do material, -
é a área da seção transversal, -
é a aceleração da gravidade.
Como a seção transversal é quadrada com lado
, a área
é:
Passo 4
Agora, precisamos calcular o momento de inércia
para a seção transversal quadrada. A fórmula dada é:
Passo 5
Vamos substituir as expressões de
e
na equação da deflexão para a carga distribuída:
Passo 6
Agora, queremos encontrar um índice de material que relacione essas variáveis. Podemos reorganizar a expressão para isolar o material:
Isso nos mostra que o módulo de elasticidade
é proporcional à densidade
e ao quarto poder do comprimento
, e inversamente proporcional à deflexão
e ao quadrado da espessura
.
Resposta
O índice de material para uma viga sob carga distribuída é dado por: