Índices de materiais para vigas elásticas com restrições diferentes. Inicie cada uma das quatro partes desse problema fazendo a lista de função, objetivo e restrições. Você precisará das equações para a deflexão de uma viga em balanço de seção transversal quadrada t times t, dadas no Apêndice B.3. As duas que importam são a para deflexão de de uma viga de comprimento L sob uma carga F aplicada à sua extremidade:
de
e a para a deflexão de uma viga sob uma carga distribuída f por unidade de comprimento:
(a)
de
onde I=t^4 / 12. Para uma viga carregada por peso próprio f=rho A g, onde rho é a densidade do material da viga, A é a área da seção transversal e g é a aceleração da gravidade.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre calcular índices de materiais para vigas elásticas que têm diferentes restrições. A matéria envolvida aqui é Mecânica dos Materiais, especificamente o estudo de deflexão de vigas. Para resolver isso, vamos precisar usar as equações que dão a deflexão ( de) de uma viga quando ela está sob uma carga aplicada ou uma carga distribuída. Além disso, vamos precisar entender um pouquinho sobre momentos de inércia e como eles se relacionam com a geometria da seção da viga.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das duas equações principais que o enunciado forneceu:
  1. Para uma carga concentrada F na extremidade da viga:
de
  1. Para uma carga distribuída f por unidade de comprimento:
de
Aqui, L é o comprimento da viga, E é o módulo de elasticidade do material, I é o momento de inércia da seção transversal da viga.

Passo 3

Vamos focar na segunda equação, que trata da carga distribuída. O enunciado também nos diz que a carga distribuída f é igual ao peso próprio da viga, que é dado por:
f = rho A g
Onde:
  • rho é a densidade do material,
  • A é a área da seção transversal,
  • g é a aceleração da gravidade.
Como a seção transversal é quadrada com lado t, a área A é:
A = t times t = t^2

Passo 4

Agora, precisamos calcular o momento de inércia I para a seção transversal quadrada. A fórmula dada é:
I = t^412

Passo 5

Vamos substituir as expressões de f e I na equação da deflexão para a carga distribuída:
de

Passo 6

Agora, queremos encontrar um índice de material que relacione essas variáveis. Podemos reorganizar a expressão para isolar o material:
de
Isso nos mostra que o módulo de elasticidade E é proporcional à densidade rho e ao quarto poder do comprimento L, e inversamente proporcional à deflexão de e ao quadrado da espessura t.

Resposta

O índice de material para uma viga sob carga distribuída é dado por:
E = 3 rho g L^42 de

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