Precisamos de um forno para sinterizar peças de metal em pó. O forno funciona continuamente a 650^circ C enquanto as peças são alimentadas por meio de uma esteira transportadora. Temos de selecionar um material para isolamento do forno para minimizar a perda de calor e, assim, tornar o forno tão eficiente em consumo de energia quanto possível. Por questão de espaço, a espessura máxima do isolamento está limitada a x=0,2 m. Faça uma lista de função, restrições, objetivo e variável livre.

Passo 1

Beleza, então vamos entender o que a gente precisa aqui. Temos um forno que funciona a para sinterizar peças de metal em pó, e queremos escolher um material de isolamento que minimize a perda de calor, deixando o forno mais eficiente em termos de consumo de energia. Mas tem um lance: por causa de espaço, a espessura do isolamento não pode passar de . O que a gente precisa fazer é listar a função que representa o que queremos otimizar, as restrições que temos, o objetivo final e qual é a variável livre que vamos manipular. Vamos usar conceitos de otimização e matemática para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a variável livre, que é o que a gente pode mudar para alcançar o melhor resultado. Nesse caso, a variável é a espessura do isolamento, que vamos chamar de .

Passo 3

Agora, vamos definir a função objetivo. Queremos minimizar a perda de calor, então precisamos expressar matematicamente como a perda de calor depende da espessura do isolamento. A perda de calor ( Q = k cdot A cdot De) por condução através de um material pode ser calculada pela fórmula:
Minimizar Q(x) = k cdot A cdot De
Onde:
  • é a condutividade térmica do material de isolamento,
  • é a área através da qual o calor está sendo perdido,
  • é a diferença de temperatura entre o interior e o exterior do forno,
  • é a espessura do isolamento.
Como queremos minimizar , nossa função objetivo será:

Passo 4

Vamos listar as restrições do problema. Sabemos que a espessura do isolamento não pode ser maior que x <= 0,2 , m . Portanto, temos:
x > 0
Além disso, a espessura não pode ser negativa, então também temos:

Passo 5

Resumindo tudo:
  • Variável livre: (espessura do isolamento)
  • Função objetivo: (a perda de calor que queremos minimizar)
  • Restrições:
    • (limite de espessura por espaço)
    • (a espessura deve ser positiva)

Resposta

Então, a gente tem:
  • Variável livre:
  • Função:
  • Restrições:
  • Objetivo: Minimizar

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