Indique as afirmações abaixo como Verdadeira ou falsa:
a) Se f(x) \leq g(x) e \int_{0}^{\infty} g(x) d x diverge então \int_{0}^{\infty} f(x) d x também diverge.
b) \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{\sqrt{2}}} d x é convergente.
c) Se f for contínua então \int_{-\infty}^{\infty} f(x) d x=\lim _{t \rightarrow \infty} \int_{-t}^{t} f(x) d x \quad(\quad)
d) Se \int_{0}^{\infty} f(x) d x e \int_{0}^{\infty} g(x) d x são ambas convergentes então \int_{0}^{\infty}[f(x)+g(x)] d x é convergente.
e) Se \int_{0}^{\infty} f(x) d x e \int_{0}^{\infty} g(x) d x são ambas divergentes então \int_{0}^{\infty}[f(x)+g(x)] d x é divergente.

Passo 1

O enunciado pede que eu classifique como Verdadeira ou Falsa cada uma das afirmações (a)–(e). Vou listar claramente o que cada item afirma (peguei tudo do enunciado):
  • (a) Diz: “Se f(x)\le g(x) e \int_{0}^{\infty} g(x)\,dx diverge então \int_{0}^{\infty} f(x)\,dx também diverge.”
  • (b) Diz: " \displaystyle \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{\sqrt{2}}}\,dx é convergente."
  • (c) Diz: “Se f for contínua então \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx=\lim_{t\to\infty}\int_{-t}^{t} f(x)\,dx.”
  • (d) Diz: “Se \displaystyle \int_{0}^{\infty} f(x)\,dx e \displaystyle \int_{0}^{\infty} g(x)\,dx são ambas convergentes então \displaystyle \int_{0}^{\infty}[f(x)+g(x)]\,dx é convergente.”
  • (e) Diz: “Se \displaystyle \int_{0}^{\infty} f(x)\,dx e \displaystyle \int_{0}^{\infty} g(x)\,dx são ambas divergentes então \displaystyle \int_{0}^{\infty}[f(x)+g(x)]\,dx é divergente.”
Informações relevantes dadas: integrais impróprias em intervalos infinitos, desigualdade entre funções, continuidade em (c). A seguir vou usar definições e exemplos para decidir cada item.

Passo 2

Conceitos básicos que vou usar (explicadinhos e sem pular etapas):
  • Definição de integral imprópria em intervalo infinito: para uma função h definida em [a,\infty),
    \int_{a}^{\infty} h(x)\,dx:=\lim_{t\to\infty}\int_{a}^{t} h(x)\,dx,
    quando esse limite existir finito dizemos que a integral converge; caso contrário diverge.
  • Integral sobre toda a reta: para f em (-\infty,\infty) definimos
    \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx
    como convergente se as duas integrais
    \int_{-\infty}^{0} f(x)\,dx\quad\text{e}\quad\int_{0}^{\infty} f(x)\,dx
    existirem (finito). Observação importante: o limite simétrico
    \lim_{t\to\infty}\int_{-t}^{t} f(x)\,dx
    é chamado valor principal de Cauchy e não equivale sempre ao valor da integral imprópria definida acima; são conceitos diferentes.
  • Teste do tipo p-integral: para p>0,
    \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{p}}\,dx
    converge se, e somente se, p>1. Neste caso o valor é
    \int_{1}^{\infty} x^{-p}\,dx=\frac{1}{p-1}.
    Vou usar isso para o item (b).
  • Teste de comparação (forma usual): se 0\le u(x)\le v(x) para x grande e \int v converge, então \int u converge. A contrapartida (se \int v diverge então \int u diverge) NÃO é verdadeira em geral — cuidado: isso já dá pista para (a).

Passo 3

Vou analisar a afirmação e construir um contraexemplo simples se for falsa.
Afirmativa (a): “Se f(x)\le g(x) e \int_{0}^{\infty} g(x)\,dx diverge então \int_{0}^{\infty} f(x)\,dx também diverge.”
  • Observação: a afirmação não exige que f e g sejam não-negativas. Mesmo restringindo a não-negatividade, a conclusão não segue: ter 0\le f\le g e \int g divergente não implica que \int f diverge — f pode ser muito menor que g e convergir.
Contraexemplo explícito e bem simples (escolha prática para a prova):
  • Defina \displaystyle f(x)=0 para todos x\ge0.
  • Defina \displaystyle g(x)=\frac{1}{1+x} para x\ge0.
Verificações:
  • Temos f(x)\le g(x) para todo x\ge0 (porque 0\le\frac{1}{1+x}).
  • Calcule \displaystyle \int_{0}^{\infty} g(x)\,dx=\int_{0}^{\infty}\frac{1}{1+x}\,dx. Essa integral diverge porque \int_{0}^{t}\frac{1}{1+x}\,dx=[\ln(1+x)]_{0}^{t}=\ln(1+t),e \lim_{t\to\infty}\ln(1+t)=\infty.
  • Calcule \displaystyle \int_{0}^{\infty} f(x)\,dx=\int_{0}^{\infty}0\,dx=0, que converge.
Conclusão: existe caso com f\le g e \int g divergente, mas \int f convergente. Logo (a) é FALSA.

Passo 4

Afirmativa (b): " \displaystyle \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{\sqrt{2}}}\,dx é convergente."
  • Aqui aplico o critério do p-integral. Identifico p=\sqrt{2}.
  • Como \sqrt{2}\approx 1{,}414 > 1, pelo critério p>1 a integral converge.
  • Posso até calcular o valor exato: para p\ne1, \int_{1}^{\infty} x^{-p}\,dx=\lim_{t\to\infty}\int_{1}^{t} x^{-p}\,dx =\lim_{t\to\infty}\left[\frac{x^{1-p}}{1-p}\right]_{1}^{t}.Como 1-p<0 (porque p>1), temos t^{1-p}\to0 quando t\to\infty. Assim \int_{1}^{\infty} x^{-p}\,dx=\frac{1}{p-1}.
  • Substituindo p=\sqrt{2} obtemos \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{\sqrt{2}}}\,dx=\frac{1}{\sqrt{2}-1}.Observação simpática: \dfrac{1}{\sqrt{2}-1}=\sqrt{2}+1 (racionalizando), mas o importante é que é finito.
Conclusão: (b) é VERDADEIRA.

Passo 5

Afirmativa (c): “Se f for contínua então \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx=\lim_{t\to\infty}\int_{-t}^{t} f(x)\,dx.”
  • Primeiro explico a precisão do conceito: a integral imprópria \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f é definida como a soma das duas integrais de cauda: \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx =\int_{-\infty}^{0} f(x)\,dx+\int_{0}^{\infty} f(x)\,dx,e esta é considerada convergente somente se ambas as integrais parabólicas (cada uma como limite) existirem finitas.
  • O limite simétrico \displaystyle \lim_{t\to\infty}\int_{-t}^{t} f(x)\,dx é o chamado valor principal (Cauchy). Nem sempre coincidirá com a definição acima.
  • Contraexemplo simples e direto (fácil de lembrar na prova): escolha f(x)=x. Ela é contínua em \mathbb{R}.
    • Para todo t>0, \int_{-t}^{t} x\,dx=\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{-t}^{t}=\frac{t^{2}}{2}-\frac{t^{2}}{2}=0.Portanto \displaystyle \lim_{t\to\infty}\int_{-t}^{t} x\,dx=0.
    • Mas a integral imprópria \displaystyle \int_{0}^{\infty} x\,dx diverge para +\infty \lim_{t\to\infty} t^{2}/2=\infty), e \displaystyle \int_{-\infty}^{0} x\,dx diverge para -\infty. Assim \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} x\,dx NÃO existe (não converge).
  • Portanto o limite simétrico existe (é 0) mas a integral imprópria no sentido usual não existe; a igualdade pedida na afirmação falha mesmo com f contínua.
Conclusão: (c) é FALSA.

Passo 6

Afirmativa (d): “Se \displaystyle \int_{0}^{\infty} f(x)\,dx e \displaystyle \int_{0}^{\infty} g(x)\,dx são ambas convergentes então \displaystyle \int_{0}^{\infty}[f(x)+g(x)]\,dx é convergente.”
  • Prova direta por linearidade de limites (mostro o raciocínio que vale na prova):
    • Suponha \int_{0}^{\infty} f(x)\,dx = A\quad\text{e}\quad \int_{0}^{\infty} g(x)\,dx = B,com A,B finitos. Isso significa \lim_{t\to\infty}\int_{0}^{t} f(x)\,dx = A \quad\text{e}\quad \lim_{t\to\infty}\int_{0}^{t} g(x)\,dx = B.
    • Para cada t, \int_{0}^{t} (f(x)+g(x))\,dx = \int_{0}^{t} f(x)\,dx + \int_{0}^{t} g(x)\,dx.
    • Tomando limite t\to\infty e usando que o limite da soma é a soma dos limites (propriedade básica de limites finitos), \lim_{t\to\infty}\int_{0}^{t} (f+g) =\lim_{t\to\infty}\int_{0}^{t} f + \lim_{t\to\infty}\int_{0}^{t} g = A+B,que é finito. Logo \displaystyle \int_{0}^{\infty} (f+g) converge.
  • Não é necessário pedir convergência absoluta; a linearidade das integrais impróprias (quando as duas partes convergem) basta.
Conclusão: (d) é VERDADEIRA.

Passo 7

Afirmativa (e): “Se \displaystyle \int_{0}^{\infty} f(x)\,dx e \displaystyle \int_{0}^{\infty} g(x)\,dx são ambas divergentes então \displaystyle \int_{0}^{\infty}[f(x)+g(x)]\,dx é divergente.”
  • Essa afirmação é muito forte e não é verdadeira em geral: divergência das duas integrais separadas não impede que as partes divergentes se cancelem e a soma converja.
  • Contraexemplo simples:
    • Tome, por exemplo, para x\ge0, f(x)=\frac{1}{1+x},\qquad g(x)=-\frac{1}{1+x}.Então \displaystyle f+g\equiv0, logo \int_{0}^{\infty}[f(x)+g(x)]\,dx=\int_{0}^{\infty}0\,dx=0,que converge.
    • Contudo \displaystyle \int_{0}^{\infty} f(x)\,dx=\int_{0}^{\infty}\frac{1}{1+x}\,dx diverge (logaritmo) e \displaystyle \int_{0}^{\infty} g(x)\,dx diverge para -\infty. Ambas as integrais separadas divergem, mas a integral da soma é convergente.
  • Observação: existem situações onde ambas divergem para +\infty e então a soma diverge para +\infty, mas a afirmação exigia que isso fosse sempre verdade — e não é.
Conclusão: (e) é FALSA.

Resposta

a) Falsa
b) Verdadeira
c) Falsa
d) Verdadeira
e) Falsa

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