Indique as afirmações abaixo como Verdadeira ou falsa:
a) Se
e
diverge então
também diverge.
b)
é convergente.
c) Se
for contínua então
d) Se
e
são ambas convergentes então
é convergente.
e) Se
e
são ambas divergentes então
é divergente.
a) Se
b)
c) Se
d) Se
e) Se
Passo 1
O enunciado pede que eu classifique como Verdadeira ou Falsa cada uma das afirmações (a)–(e). Vou listar claramente o que cada item afirma (peguei tudo do enunciado):
- (a) Diz: “Se
e diverge então também diverge.” - (b) Diz: "
é convergente." - (c) Diz: “Se
for contínua então .” - (d) Diz: “Se
e são ambas convergentes então é convergente.” - (e) Diz: “Se
e são ambas divergentes então é divergente.”
Informações relevantes dadas: integrais impróprias em intervalos infinitos, desigualdade entre funções, continuidade em (c). A seguir vou usar definições e exemplos para decidir cada item.
Passo 2
Conceitos básicos que vou usar (explicadinhos e sem pular etapas):
-
Definição de integral imprópria em intervalo infinito: para uma função
definida em , quando esse limite existir finito dizemos que a integral converge; caso contrário diverge. -
Integral sobre toda a reta: para
em definimos como convergente se as duas integraisexistirem (finito). Observação importante: o limite simétricoé chamado valor principal de Cauchy e não equivale sempre ao valor da integral imprópria definida acima; são conceitos diferentes. -
Teste do tipo
-integral: para , converge se, e somente se,. Neste caso o valor é Vou usar isso para o item (b). -
Teste de comparação (forma usual): se
para grande e converge, então converge. A contrapartida (se diverge então diverge) NÃO é verdadeira em geral — cuidado: isso já dá pista para (a).
Passo 3
Vou analisar a afirmação e construir um contraexemplo simples se for falsa.
Afirmativa (a): “Se
e
diverge então
também diverge.”
- Observação: a afirmação não exige que
e sejam não-negativas. Mesmo restringindo a não-negatividade, a conclusão não segue: ter e divergente não implica que diverge — pode ser muito menor que e convergir.
Contraexemplo explícito e bem simples (escolha prática para a prova):
- Defina
para todos . - Defina
para .
Verificações:
- Temos
para todo (porque ). - Calcule
. Essa integral diverge porque e . - Calcule
, que converge.
Conclusão: existe caso com
e
divergente, mas
convergente. Logo (a) é FALSA.
Passo 4
Afirmativa (b): "
é convergente."
- Aqui aplico o critério do
-integral. Identifico . - Como
, pelo critério a integral converge. - Posso até calcular o valor exato: para
, Como (porque ), temos quando . Assim - Substituindo
obtemos Observação simpática: (racionalizando), mas o importante é que é finito.
Conclusão: (b) é VERDADEIRA.
Passo 5
Afirmativa (c): “Se
for contínua então
.”
- Primeiro explico a precisão do conceito: a integral imprópria
é definida como a soma das duas integrais de cauda: e esta é considerada convergente somente se ambas as integrais parabólicas (cada uma como limite) existirem finitas. - O limite simétrico
é o chamado valor principal (Cauchy). Nem sempre coincidirá com a definição acima. - Contraexemplo simples e direto (fácil de lembrar na prova): escolha
. Ela é contínua em . - Para todo
, Portanto . - Mas a integral imprópria
diverge para (é ), e diverge para . Assim NÃO existe (não converge).
- Para todo
- Portanto o limite simétrico existe (é
) mas a integral imprópria no sentido usual não existe; a igualdade pedida na afirmação falha mesmo com contínua.
Conclusão: (c) é FALSA.
Passo 6
Afirmativa (d): “Se
e
são ambas convergentes então
é convergente.”
- Prova direta por linearidade de limites (mostro o raciocínio que vale na prova):
- Suponha
com finitos. Isso significa - Para cada
, - Tomando limite
e usando que o limite da soma é a soma dos limites (propriedade básica de limites finitos), que é finito. Logo converge.
- Suponha
- Não é necessário pedir convergência absoluta; a linearidade das integrais impróprias (quando as duas partes convergem) basta.
Conclusão: (d) é VERDADEIRA.
Passo 7
Afirmativa (e): “Se
e
são ambas divergentes então
é divergente.”
- Essa afirmação é muito forte e não é verdadeira em geral: divergência das duas integrais separadas não impede que as partes divergentes se cancelem e a soma converja.
- Contraexemplo simples:
- Tome, por exemplo, para
, Então , logo que converge. - Contudo
diverge (logaritmo) e diverge para . Ambas as integrais separadas divergem, mas a integral da soma é convergente.
- Tome, por exemplo, para
- Observação: existem situações onde ambas divergem para
e então a soma diverge para , mas a afirmação exigia que isso fosse sempre verdade — e não é.
Conclusão: (e) é FALSA.
Resposta
a) Falsa
b) Verdadeira
c) Falsa
d) Verdadeira
e) Falsa
b) Verdadeira
c) Falsa
d) Verdadeira
e) Falsa