Indique o efeito sobre o quadrado unitário das transformações dadas pelas seguintes matrizes: \left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 0 & 1\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}
e pede para indicar o efeito dessa transformação linear sobre o quadrado unitário. Vou listar o que está explícito e o que é o objeto a transformar:
A matriz A atua sobre vetores coluna \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^2.
O quadrado unitário é o conjunto dos pontos com vértices \,(0,0),\,(1,0),\,(1,1),\,(0,1).\n
A partir daqui vou determinar passo a passo a imagem desses pontos e as propriedades geométricas (forma, área, orientação).]
Passo 2
Lembra: uma matriz 2\times2 aplicada a um vetor coluna \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} corresponde a uma transformação linear. Uma maneira prática é ver como A age nos vetores da base canônica \;e_1=\begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix}\; e \;e_2=\begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix}\;,
porque qualquer ponto \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} do quadrado pode ser escrito como x e_1 + y e_2. A imagem será x\,A e_1 + y\,A e_2.
Passo 3
Calcular as colunas (imagens da base):
A e_1 = \begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\[2pt]0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\[2pt]0\end{pmatrix}, \qquad A e_2 = \begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\[2pt]1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\[2pt]1\end{pmatrix}.
Comentário didático: as colunas da matriz são exatamente as imagens de e_1 e e_2. Aqui e_1 fica onde estava e e_2 é deslocado para a direita por 2 unidades e sobe 1.]
Passo 4
Aplicar A aos vértices do quadrado unitário (usando linearidade):
A(0,0)= (0,0).
A(1,0)=A e_1=(1,0).
A(0,1)=A e_2=(2,1).
A(1,1)=A(e_1+e_2)=A e_1 + A e_2=(1,0)+(2,1)=(3,1).
Portanto os vértices do quadrado unitário são enviados para os pontos \,(0,0),\,(1,0),\,(3,1),\,(2,1).
Passo 5
Interpretando geometricamente: os quatro pontos acima formam um paralelogramo. Observando a fórmula explícita da transformação:
vemos que y permanece igual e x é deslocado em função de y. Isso é um cisalhamento horizontal (shear): linhas horizontais y= constante permanecem horizontais, mas são deslocadas para a direita por uma quantidade 2y. Em palavras amigáveis: a parte de baixo do quadrado (onde y=0) não se move; a parte de cima (onde y=1) é deslocada 2 unidades para a direita — daí o topo passar de [0,1]\to[2,1] e [1,1]\to[3,1].]
Passo 6
Verificar área e orientação usando o determinante (fórmula padrão para fator de escala de áreas):
\det(A)=1\cdot1-2\cdot0=1.
Como \det(A)=1, a transformação preserva área (o paralelogramo resultado tem área igual a 1, mesma área do quadrado original) e preserva orientação (determinante positivo). Explicação curta: o determinante mede quanto a área é multiplicada pela transformação linear.
Passo 7
Outras propriedades úteis para prova:
Autovalores: por ser triangular superior, os autovalores são as entradas diagonais, ambos iguais a 1. Logo é uma transformação com autovalor 1 repetido.
Observação sobre vetores próprios: e_1 é vetor próprio com autovalor 1 porque A e_1=e_1. Não há uma segunda direção linear independente de autovetores (é um bloco de Jordan não diagonalizável quando o termo superior não é zero), o que é típico de um cisalhamento.
ou seja, o deslocamento horizontal se acumula linearmente com o número de aplicações.]
Passo 8
Resumo final do efeito (em linguagem de prova): a transformação é um cisalhamento horizontal que envia o quadrado unitário no paralelogramo com vértices (0,0),(1,0),(3,1),(2,1); preserva área (determinante 1) e preserva orientação. Dá para escrever também a regra ponto a ponto como x'=x+2y,\;y'=y.
Resposta
O quadrado unitário é levado a um paralelogramo (cisalhamento horizontal) cujos vértices são (0,0), (1,0), (3,1), (2,1). A regra é \,(x,y)\mapsto(x+2y,y)\,. A transformação preserva área (\det(A)=1) e preserva orientação.