Indique o efeito sobre o quadrado unitário das transformações dadas pelas seguintes matrizes:
\left[\begin{array}{ll}2 & 0 \\\\ 0 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede: indicar o efeito da transformação linear dada pela matriz
\left[\begin{array}{ll}2 & 0 \\[4pt] 0 & 2\end{array}\right]
sobre o quadrado unitário.
Informações dadas:
  • A matriz que define a transformação é A=\left[\begin{smallmatrix}2 & 0 \\[2pt] 0 & 2\end{smallmatrix}\right].
  • O quadrado unitário é o conjunto dos pontos \{(x,y)\mid 0\le x\le1,\;0\le y\le1\}, cujos vértices são (0,0), (1,0), (1,1) e (0,1).]

Passo 2

Como uma breve lembrança (passo-a-passo do que faremos): uma matriz 2\times2 age sobre um vetor (x,y) multiplicando-o pelo produto matricial. Ou seja, para A e um vetor coluna v=\begin{pmatrix}x\\[2pt] y\end{pmatrix} temos a imagem Av obtida por multiplicação de matrizes. Vou explicar essa multiplicação e o que ela significa geometricamente.]

Passo 3

Calcule a imagem dos vetores base (isso já mostra o comportamento da transformação nas direções dos eixos):
A\begin{pmatrix}1\\[2pt]0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & 0 \\[2pt] 0 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\[2pt]0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\[2pt]0\end{pmatrix}, \qquad A\begin{pmatrix}0\\[2pt]1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\[2pt]2\end{pmatrix}.
Interpretação: a transformação multiplica o vetor (1,0) por 2 e o vetor (0,1) por 2. Isso já sugere uma escala de fator 2 nas direções dos eixos.]

Passo 4

A imagem de um ponto genérico (x,y) é
A\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2x\\[2pt]2y\end{pmatrix}.
Isto mostra de forma simples e direta que todas as coordenadas são multiplicadas por 2: a transformação é homogênea em todas as direções (ou seja, escala uniforme).]

Passo 5

Agora aplico isso aos vértices do quadrado unitário (peguei os vértices do enunciado):
A\begin{pmatrix}0\\[2pt]0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[2pt]0\end{pmatrix},\quad A\begin{pmatrix}1\\[2pt]0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\[2pt]0\end{pmatrix},\quad A\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\[2pt]2\end{pmatrix},\quad A\begin{pmatrix}0\\[2pt]1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[2pt]2\end{pmatrix}.
Portanto o quadrado unitário é levado no quadrado com vértices (0,0), (2,0), (2,2) e (0,2) — ou seja, um quadrado de lado 2, alinhado com os eixos.]

Passo 6

Área e orientação: a área é multiplicada pelo valor absoluto do determinante da matriz. Calcule o determinante:
\det(A)=2\cdot2-0\cdot0=4.
Logo a área do quadrado unitário (que era 1) passa a ser 4. Como \det(A)>0, a orientação é preservada (não há reflexão).

Passo 7

Propriedades adicionais (úteis para a prova):
  • Os autovalores de A são \lambda_1=2 e \lambda_2=2 (com autovetores (1,0) e (0,1)). Isso confirma que a transformação é uma dilatação uniforme por fator 2.
  • A é invertível; a inversa é A^{-1}=\left[\begin{smallmatrix}1/2 & 0 \\[2pt] 0 & 1/2\end{smallmatrix}\right], que reduz coordenadas pela metade (desfaz a dilatação).]

Passo 8

Interpretação geométrica final (palavras amigas): a transformação é uma homotetia centrada na origem com razão 2. Ela “puxa” todos os pontos duas vezes mais longe da origem, transformando o quadrado unitário num quadrado congruente maior, de lado 2, com área 4, sem girar nem refletir — só um aumento uniforme.

Resposta

Dilatação (homotetia) de razão 2 centrada na origem; o quadrado unitário vai para um quadrado de lado 2 com vértices (0,0),(2,0),(2,2),(0,2); a área é multiplicada por 4 e a orientação é preservada.

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