Indique se a frase é verdadeira ou falsa, dando um contra-exemplo quando for falsa e mostrando a afirmação quando for verdadeira.
( ) Toda sequência ilimitada é tal que a_{n} \rightarrow \infty ou a_{n} \rightarrow-\infty.
Passo 1
O enunciado nos pede para verificar se toda sequência ilimitada necessariamente diverge para +\infty ou para -\infty. O conteúdo envolve definição de sequência limitada, divergência para infinito e construção de contraexemplo.
Passo 2
Lembramos que uma sequência (a_n) é ilimitada se não existe M>0 tal que \lvert a_n\rvert\le M para todo n. Dizemos que (a_n) diverge para +\infty quando, para todo M>0, existe N tal que a_n>M para todo n\ge N, e diverge para -\infty quando, para todo M>0, existe N tal que a_n<-M para todo n\ge N.
Passo 3
Como contraexemplo, considere a_n = (-1)^n n. Para mostrar que é ilimitada, dado M>0, basta escolher N inteiro com N>M. Então
\lvert a_N\rvert = \bigl\lvert(-1)^N N\bigr\rvert = N > M,
logo (a_n) é de fato ilimitada.
Passo 4
Para ver que não diverge para +\infty, suponha que existisse N_1 tal que a_n>0 para todo n\ge N_1. Mas se n for ímpar e n\ge N_1, temos a_n = -n <0, contradição. Analogamente, não diverge para -\infty pois em índices pares a_n>0. Logo não há convergência para nenhum dos infinitos.
Resposta
A afirmação é falsa. Um contraexemplo é a sequência a_n = (-1)^n n, que é ilimitada mas não diverge nem para +\infty nem para -\infty.