Indique se a frase é verdadeira ou falsa, dando um contra-exemplo quando for falsa e mostrando a afirmação quando for verdadeira.
( ) Se \\|a_{n}\\| \rightarrow L então a_{n} é convergente
Passo 1
O enunciado considera uma sequência (a_n) em um espaço normado e diz: “se \lVert a_n\rVert \to L então a_n é convergente”. O conteúdo envolvido é a definição de convergência de sequência e a propriedade da norma. Vamos verificar se a convergência das normas implica a convergência da sequência.
Passo 2
Para investigar, vamos apresentar um contra-exemplo. Seja a sequência definida por
a_n = (-1)^n
no espaço \mathbb{R} (com a norma usual \lVert x\rVert=|x|). Mostraremos que \lVert a_n\rVert converge, mas (a_n) não converge.