Indique se a frase é verdadeira ou falsa, dando um contra-exemplo quando for falsa e mostrando a afirmação quando for verdadeira.
( ) Se \\|a_{n}\\| \rightarrow L então a_{n} é convergente

Passo 1

O enunciado considera uma sequência (a_n) em um espaço normado e diz: “se \lVert a_n\rVert \to L então a_n é convergente”. O conteúdo envolvido é a definição de convergência de sequência e a propriedade da norma. Vamos verificar se a convergência das normas implica a convergência da sequência.

Passo 2

Para investigar, vamos apresentar um contra-exemplo. Seja a sequência definida por
a_n = (-1)^n
no espaço \mathbb{R} (com a norma usual \lVert x\rVert=|x|). Mostraremos que \lVert a_n\rVert converge, mas (a_n) não converge.

Passo 3

Calculemos a norma de a_n:
\lVert a_n\rVert = \bigl|(-1)^n\bigr| = 1
para todo n. Logo
\lVert a_n\rVert \;\longrightarrow\; 1 \quad\text{quando }n\to\infty.

Passo 4

No entanto, a sequência (a_n) alterna entre -1 e 1. Não existe a\in\mathbb{R} tal que
\lim_{n\to\infty}a_n = a,
pois para qualquer candidato a sempre haverá termos de (a_n) a uma distância arbitrariamente grande de a. Assim, (a_n) não converge.

Resposta

A afirmação é falsa. Um contra-exemplo é a_n = (-1)^n, pois \lVert a_n\rVert\to1 mas (a_n) não converge.

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