Indique se a frase é verdadeira ou falsa, dando um contra-exemplo quando for falsa e mostrando a afirmação quando for verdadeira.
( ) Toda sequência monótona crescente é tal que a_{n} \rightarrow \infty.

Passo 1

O enunciado pergunta se toda sequência monótona crescente é necessariamente divergente para +\infty, ou seja, se sempre vale
a_{n+1}\ge a_n\quad\Longrightarrow\quad a_n\to+\infty.
O conteúdo aqui é teoria de sequências monotônicas: sabemos que uma sequência monótona crescente pode ser ou divergente (caso não seja limitada superiormente) ou convergente (caso seja limitada). Para refutar a afirmação basta dar um contra-exemplo de sequência crescente mas limitada.

Passo 2

Considere a sequência \bigl(a_n\bigr) definida por
a_n = 1 - \frac{1}{n}.
  1. Monotonicidade: para todo n\ge1,
a_{n+1} = 1 - \frac{1}{n+1} \quad\text{e}\quad a_n = 1 - \frac{1}{n},
e como \frac{1}{n+1}<\frac{1}{n} segue
a_{n+1}-a_n = -\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n} = \frac{1}{n(n+1)}>0.
Logo \bigl(a_n\bigr) é monótona crescente.
  1. Limite finito: como 0<\tfrac1n\to0, temos
a_n = 1 - \frac{1}{n}\;\longrightarrow\;1<+\infty.
Portanto \bigl(a_n\bigr) não diverge para +\infty.

Passo 3

Encontramos uma sequência monótona crescente que não tende a +\infty, mas sim a 1. Logo a afirmação “toda sequência monótona crescente satisfaz a_n\to+\infty” é falsa.

Resposta

Falsa. Contra-exemplo: a_n = 1 - \tfrac1n, que é crescente e converge a 1, não a +\infty.

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