Indique se a frase é verdadeira ou falsa, dando um contra-exemplo quando for falsa e mostrando a afirmação quando for verdadeira.
( ) Toda sequência monótona crescente é tal que
.
( ) Toda sequência monótona crescente é tal que
Passo 1
O enunciado pergunta se toda sequência monótona crescente é necessariamente divergente para
, ou seja, se sempre vale
O conteúdo aqui é teoria de sequências monotônicas: sabemos que uma sequência monótona crescente pode ser ou divergente (caso não seja limitada superiormente) ou convergente (caso seja limitada). Para refutar a afirmação basta dar um contra-exemplo de sequência crescente mas limitada.
Passo 2
Considere a sequência
definida por
- Monotonicidade: para todo
,
e como
segue
Logo
é monótona crescente.
- Limite finito: como
, temos
Portanto
não diverge para
.
Passo 3
Encontramos uma sequência monótona crescente que não tende a
, mas sim a
. Logo a afirmação “toda sequência monótona crescente satisfaz
” é falsa.
Resposta
Falsa. Contra-exemplo:
, que é crescente e converge a
, não a
.