Indique se a frase é verdadeira ou falsa, dando um contra-exemplo quando for falsa e mostrando a afirmação quando for verdadeira.
( ) Toda sequência monótona decrescente é tal que a_{n} \rightarrow-\infty.

Passo 1

O enunciado pergunta se “toda sequência monótona decrescente satisfaz \lim_{n\to\infty}a_{n}=-\infty”. Vamos usar conceitos de monotonicidade e de limite de sequência para verificar isso.

Passo 2

Recordando que uma sequência (a_{n}) é monótona decrescente se, para todo n,
a_{n+1}\le a_{n}.
Por outro lado, uma sequência monótona decrescente pode convergir para um valor finito ou divergir para -\infty; não há garantia de que o limite seja necessariamente -\infty.

Passo 3

Contraexemplo: defina
a_{n}=\frac{1}{n}.
Para todo n\ge1 vale
a_{n+1}=\frac{1}{n+1}\le\frac{1}{n}=a_{n},
logo (a_{n}) é monótona decrescente. Entretanto
\lim_{n\to\infty}a_{n} =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n} =0\neq -\infty.

Passo 4

Como encontramos uma sequência monótona decrescente que não tende a -\infty, a afirmação geral é falsidade.

Resposta

Falsa. Um contraexemplo é a_{n}=\tfrac{1}{n}, que é decrescente mas \lim_{n\to\infty}a_{n}=0.

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