Indique se a frase é verdadeira ou falsa, dando um contra-exemplo quando for falsa e mostrando a afirmação quando for verdadeira.
( ) Toda sequência monótona decrescente é tal que
.
( ) Toda sequência monótona decrescente é tal que
Passo 1
O enunciado pergunta se “toda sequência monótona decrescente satisfaz
”. Vamos usar conceitos de monotonicidade e de limite de sequência para verificar isso.
Passo 2
Recordando que uma sequência
é monótona decrescente se, para todo
,
Por outro lado, uma sequência monótona decrescente pode convergir para um valor finito ou divergir para
; não há garantia de que o limite seja necessariamente
.
Passo 3
Contraexemplo: defina
Para todo
vale
logo
é monótona decrescente. Entretanto
Passo 4
Como encontramos uma sequência monótona decrescente que não tende a
, a afirmação geral é falsidade.
Resposta
Falsa. Um contraexemplo é
, que é decrescente mas
.