Indique se a frase é verdadeira ou falsa, dando um contra-exemplo quando for falsa e mostrando a afirmação quando for verdadeira.
( ) Se duas subsequências de uma sequência convergem para o mesmo valor a então a sequência também converge para a.

Passo 1

O enunciado pergunta sobre uma sequência (x_n) e diz que duas de suas subsequências convergem para o mesmo valor a. Queremos saber se isso força (x_n) a convergir para a. O conteúdo aqui é convergência de sequência e subsequência, e vamos usar definição de limite e a construção de um contraexemplo.

Passo 2

A afirmação é falsa. Basta dar um contraexemplo em que duas subsequências convergem para o mesmo a, mas a sequência original não converge.

Passo 3

Definimos a sequência (x_n)\) por \[x_n = \begin{cases} 0 &\text{se }n\equiv1\pmod{3},\\\\ 0 &\text{se }n\equiv2\pmod{3},\\\\ 1 &\text{se }n\equiv0\pmod{3}. \end{cases}
Ou seja, na posição n=3k+1\] e \(n=3k+2 temos x_n=0, e em n=3k temos x_n=1.

Passo 4

Consideramos as duas subsequências:
  • (x_{3k+1})_{k\in\mathbb{N}}, que é identicamente zero, logo
\lim_{k\to\infty}x_{3k+1}=0.
  • (x_{3k+2})_{k\in\mathbb{N}}, também identicamente zero, então
\lim_{k\to\infty}x_{3k+2}=0.
Ambas convergem para o mesmo a=0.

Passo 5

Porém, a sequência completa (x_n) não converge, porque de tempos em tempos vale 1 nos termos n=3k. De fato
\limsup_{n\to\infty}x_n=1 \quad\text{e}\quad \liminf_{n\to\infty}x_n=0,
logo não existe \lim_{n\to\infty}x_n.

Resposta

A afirmação é falsa. Como mostrado, duas subsequências podem convergir ao mesmo a sem que a sequência original convirja a a.

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