Indique se a frase é verdadeira ou falsa, dando um contra-exemplo quando for falsa e mostrando a afirmação quando for verdadeira.
( ) Se duas subsequências de uma sequência convergem para o mesmo valor
então a sequência também converge para
.
( ) Se duas subsequências de uma sequência convergem para o mesmo valor
Passo 1
O enunciado pergunta sobre uma sequência
e diz que duas de suas subsequências convergem para o mesmo valor
. Queremos saber se isso força
a convergir para
. O conteúdo aqui é convergência de sequência e subsequência, e vamos usar definição de limite e a construção de um contraexemplo.
Passo 2
A afirmação é falsa. Basta dar um contraexemplo em que duas subsequências convergem para o mesmo
, mas a sequência original não converge.
Passo 3
Definimos a sequência
Ou seja, na posição
temos
, e em
temos
.
Passo 4
Consideramos as duas subsequências:
-
, que é identicamente zero, logo
-
, também identicamente zero, então
Ambas convergem para o mesmo
.
Passo 5
Porém, a sequência completa
não converge, porque de tempos em tempos vale
nos termos
. De fato
logo não existe
.
Resposta
A afirmação é falsa. Como mostrado, duas subsequências podem convergir ao mesmo
sem que a sequência original convirja a
.