Indique se a frase é verdadeira ou falsa, dando um contra-exemplo quando for falsa e mostrando a afirmação quando for verdadeira.
( ) Se
e
então
.
( ) Se
Passo 1
O enunciado pergunta se a condição “
e
” implica “
”. Vamos ver se isso é verdadeiro ou não, e em caso negativo dar um contra-exemplo.
Passo 2
Repare que as subsequências
e
cobrem apenas os índices múltiplos de 2 ou de 3. Sobram infinitos
que não são múltiplos nem de 2 nem de 3. Nesses índices poderemos atribuir valores distintos sem afetar
nem
.
Passo 3
Definimos a sequência
ou
},\ 1,&caso contrário. \end{cases}]
Assim, em todos os índices múltiplos de 2 ou de 3 temos
; nos demais,
.
Passo 4
Para essa sequência vale
pois
e
são sempre múltiplos de 2 ou de 3, logo
para todo
.
Passo 5
Porém, a sequência completa
não converge: ela oscila entre 0 (nos múltiplos de 2 ou 3) e 1 (nos demais). Não existe único limite, pois há a subsequência
e a subsequência
.
Resposta
Falsa. O contra-exemplo acima mostra que mesmo com
e
, a sequência
pode não convergir a
.