Indique se a frase é verdadeira ou falsa, dando um contra-exemplo quando for falsa e mostrando a afirmação quando for verdadeira.
( ) Se a_{2 n} \rightarrow a e a_{3 n} \rightarrow a então a_{n} \rightarrow a.

Passo 1

O enunciado pergunta se a condição “ \lim_{n\to\infty}a_{2n}=a e \lim_{n\to\infty}a_{3n}=a” implica “ \lim_{n\to\infty}a_n=a”. Vamos ver se isso é verdadeiro ou não, e em caso negativo dar um contra-exemplo.

Passo 2

Repare que as subsequências \{a_{2n}\} e \{a_{3n}\} cobrem apenas os índices múltiplos de 2 ou de 3. Sobram infinitos n que não são múltiplos nem de 2 nem de 3. Nesses índices poderemos atribuir valores distintos sem afetar \{a_{2n}\} nem \{a_{3n}\}.

Passo 3

Definimos a sequência \{a_n\}\) por \[a_n= \begin{cases} 0,&\text{se \(2\mid n ou 3\mid n},\ 1,&caso contrário. \end{cases}]
Assim, em todos os índices múltiplos de 2 ou de 3 temos a_n=0; nos demais, a_n=1.

Passo 4

Para essa sequência vale
\lim_{n\to\infty}a_{2n}=0 \quad\text{e}\quad \lim_{n\to\infty}a_{3n}=0,
pois 2n e 3n são sempre múltiplos de 2 ou de 3, logo a_{2n}=a_{3n}=0 para todo n.

Passo 5

Porém, a sequência completa \{a_n\} não converge: ela oscila entre 0 (nos múltiplos de 2 ou 3) e 1 (nos demais). Não existe único limite, pois há a subsequência a_{6k+1}=1 e a subsequência a_{2k}=0.

Resposta

Falsa. O contra-exemplo acima mostra que mesmo com \lim a_{2n}=a e \lim a_{3n}=a, a sequência \{a_n\} pode não convergir a a.

Exercícios relacionados