Indique se a frase é verdadeira ou falsa, dando um contra-exemplo quando for falsa e mostrando a afirmação quando for verdadeira.
( ) Se a_{n} \rightarrow \infty e b_{n} \rightarrow 0 então a_{n} b_{n} \rightarrow 0 pois qualquer número multiplicado por 0 é 0 .

Passo 1

O enunciado trata de sequências (a_n) e (b_n) onde \lim_{n\to\infty}a_n=\infty e \lim_{n\to\infty}b_n=0, e pergunta se disso segue \lim_{n\to\infty}(a_n b_n)=0. Na teoria de limites, o caso “ \infty\cdot0” é uma forma indeterminada, então para validar ou refutar a afirmação basta encontrar um contra-exemplo.

Passo 2

Definimos
a_n = n,
b_n = \frac{1}{n}.
Então
\lim_{n\to\infty}a_n = \lim_{n\to\infty}n = \infty,
\lim_{n\to\infty}b_n = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n} = 0,
porém
a_n b_n = n\cdot\frac{1}{n} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \lim_{n\to\infty}(a_n b_n) = 1 \neq 0.

Resposta

Falsa. Um contra-exemplo é a_n=n e b_n=1/n, pois aí \lim a_n=\infty, \lim b_n=0 mas \lim(a_n b_n)=1.

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