Indique se a frase é verdadeira ou falsa, dando um contra-exemplo quando for falsa e mostrando a afirmação quando for verdadeira.
( )A sequência s_{n}=\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} é crescente e limitada.

Passo 1

O enunciado define a sequência
s_{n} = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}
e pergunta se ela é crescente e limitada. Vamos mostrar duas coisas: (1) que os termos são não-decrescentes, isto é, s_{n+1}>s_n, e (2) que existe um número real M tal que s_n\le M para todo n.

Passo 2

Para a monotonicidade, note que
s_{n+1} - s_n \;=\;\sum_{k=0}^{n+1}\frac{1}{k!} \;-\;\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!} \;=\;\frac{1}{(n+1)!}.
Como \frac{1}{(n+1)!}>0 para todo n, segue que s_{n+1}>s_n. Logo, \{s_n\} é estritamente crescente.

Passo 3

Para a limitada superior, basta observar que a série infinita
\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}
converge para e. Isso implica que, para todo n,
s_n = \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!} \;<\;\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!} = e.
Portanto \{s_n\} é limitada superiormente por e.

Resposta

Verdadeira. A sequência s_{n}=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!} é crescente (pois s_{n+1}-s_n=1/(n+1)!>0) e limitada superiormente por e.

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