Indique se a frase é verdadeira ou falsa, dando um contra-exemplo quando for falsa e mostrando a afirmação quando for verdadeira.
( )A sequência
é crescente e limitada.
( )A sequência
Passo 1
O enunciado define a sequência
e pergunta se ela é crescente e limitada. Vamos mostrar duas coisas: (1) que os termos são não-decrescentes, isto é,
, e (2) que existe um número real
tal que
para todo
.
Passo 2
Para a monotonicidade, note que
Como
para todo
, segue que
. Logo,
é estritamente crescente.
Passo 3
Para a limitada superior, basta observar que a série infinita
converge para
. Isso implica que, para todo
,
Portanto
é limitada superiormente por
.
Resposta
Verdadeira. A sequência
é crescente (pois
) e limitada superiormente por
.