Sejam a_{n} e b_{n} sequências tais que \left|a_{n}-b_{n}\right| \leq e^{-n}. O que se pode dizer sobre o comportamento de ambas no infinito?
i) Verifique que se a_{n} \rightarrow a \in R então b_{n} \rightarrow a.
ii) O que ocorre se uma das sequências for para \infty ? Justifique. Sugestão: Lembre da desigualdade triangular.

Passo 1

O enunciado dá duas sequências \{a_{n}\} e \{b_{n}\} tais que
\left|a_{n}-b_{n}\right|\le e^{-n}.
Pede-se:
  1. Mostrar que se a_{n}\to a\in\mathbb{R} então b_{n}\to a.
  2. Ver o que ocorre se uma das sequências tende a \infty (ou -\infty).
    O conteúdo principal é usar a desigualdade triangular e limites.

Passo 2

Antes de qualquer coisa, observe que
\lim_{n\to\infty}e^{-n}=0.
Isto significa que a diferença \left|a_{n}-b_{n}\right| tende a zero conforme n\to\infty.

Passo 3

Prova de (i): suponha a_{n}\to a. Para mostrar b_{n}\to a, fixemos um \varepsilon>0.
Como a_{n}\to a, existe N_{1} tal que para todo n\ge N_{1}
\bigl|a_{n}-a\bigr|<\tfrac{\varepsilon}{2}.
Como e^{-n}\to0, existe N_{2} tal que para todo n\ge N_{2}
e^{-n}<\tfrac{\varepsilon}{2} \quad\Longrightarrow\quad \bigl|a_{n}-b_{n}\bigr|\le e^{-n}<\tfrac{\varepsilon}{2}.

Passo 4

Para n\ge \max\{N_{1},N_{2}\}, use a desigualdade triangular:
\bigl|b_{n}-a\bigr| \le \bigl|b_{n}-a_{n}\bigr|+\bigl|a_{n}-a\bigr| < \tfrac{\varepsilon}{2} + \tfrac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.
Logo b_{n}\to a. Isso conclui a parte (i).

Passo 5

Agora (ii): suponha a_{n}\to +\infty. Queremos mostrar b_{n}\to +\infty.
Dados M>0, como a_{n}\to+\infty existe N_{3} tal que para todo n\ge N_{3}
a_{n}>M+1.
Além disso, para n suficientemente grande, e^{-n}<1. Então para n\ge \max\{N_{3},1\}:
b_{n} \ge a_{n} - \bigl|a_{n}-b_{n}\bigr| \ge (M+1) - e^{-n} > (M+1) - 1 = M.
Isso mostra b_{n}\to +\infty. De modo análogo, se a_{n}\to -\infty então
b_{n} \le a_{n} + \bigl|a_{n}-b_{n}\bigr| \le a_{n} + e^{-n}\to -\infty.

Resposta

  1. Se a_{n}\to a\in\mathbb{R}, então b_{n}\to a.
  2. Se uma das sequências tende a +\infty (ou a -\infty), a outra também tende a +\infty (ou a -\infty, respectivamente).

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