Indique se a frase é verdadeira ou falsa, dando um contra-exemplo quando for falsa e mostrando a afirmação quando for verdadeira.
() Se
então
é convergente
() Se
Passo 1
O enunciado trata de sequências reais
e pergunta se, sempre que
então necessariamente
O conteúdo é sobre limites de sequência e o fato de que a convergência de
não implica, em geral, na convergência de
.
Passo 2
Para construir um contra-exemplo, escolhemos uma sequência que oscila de sinal mas mantém valor absoluto constante. Defina
Então para todo
temos
logo
Passo 3
Apesar de
convergir, a própria sequência
não converge, pois oscila entre
e
sem se fixar em nenhum valor. Portanto, esta escolha mostra que a afirmação é falsa.
Resposta
A afirmação é falsa. Um contra-exemplo é
, pois
mas
não converge.