Indique se a frase é verdadeira ou falsa, dando um contra-exemplo quando for falsa e mostrando a afirmação quando for verdadeira.
() Se \left|a_{n}\right| \rightarrow L então a_{n} é convergente

Passo 1

O enunciado trata de sequências reais (a_n) e pergunta se, sempre que
\lvert a_n\rvert \to L,
então necessariamente
a_n \to \text{algum limite}.
O conteúdo é sobre limites de sequência e o fato de que a convergência de \lvert a_n\rvert não implica, em geral, na convergência de a_n.

Passo 2

Para construir um contra-exemplo, escolhemos uma sequência que oscila de sinal mas mantém valor absoluto constante. Defina
a_n = (-1)^n.
Então para todo n temos
\lvert a_n\rvert = \lvert(-1)^n\rvert = 1,
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\lim_{n\to\infty} \lvert a_n\rvert = 1.

Passo 3

Apesar de \lvert a_n\rvert convergir, a própria sequência a_n = (-1)^n não converge, pois oscila entre -1 e 1 sem se fixar em nenhum valor. Portanto, esta escolha mostra que a afirmação é falsa.

Resposta

A afirmação é falsa. Um contra-exemplo é a_n = (-1)^n, pois \lvert a_n\rvert \to 1 mas a_n não converge.

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