Indique se a frase é verdadeira ou falsa, dando um contra-exemplo quando for falsa e mostrando a afirmação quando for verdadeira.
h) ( ) Se a_{2 n} \rightarrow a e a_{3 n} \rightarrow a então a_{n} \rightarrow a.

Passo 1

O enunciado pergunta se, dadas as subsequências \bigl(a_{2n}\bigr) e \bigl(a_{3n}\bigr) convergindo para o mesmo limite a, podemos concluir que a sequência inteira \bigl(a_n\bigr) também converge para a.

Passo 2

Para mostrar que isso é falso, basta construir uma sequência \bigl(a_n\bigr) em que a_{2n}\to a e a_{3n}\to a, mas a própria sequência \bigl(a_n\bigr) não converge.

Passo 3

Defina
a_n = \begin{cases} 0, &\text{se \(n\) é múltiplo de 2 ou de 3},\\ 1, &\text{caso contrário}. \end{cases}éúá
Então, para todo n,
a_{2n}=0 \quad\text{e}\quad a_{3n}=0,
logo
\lim_{n\to\infty}a_{2n}=0 \quad\text{e}\quad \lim_{n\to\infty}a_{3n}=0.
Porém a sequência \bigl(a_n\bigr) não converge, pois há infinitos n (por exemplo n=6k+1) tais que a_n=1, gerando dois valores de aderência, 0 e 1.

Resposta

Falsa.

Exercícios relacionados