Indique se a frase é verdadeira ou falsa, dando um contra-exemplo quando for falsa e mostrando a afirmação quando for verdadeira.
f) ( ) Toda sequência monótona decrescente é tal que a_{n} \rightarrow-\infty.

Passo 1

O enunciado afirma que “toda sequência monotona decrescente satisfaz \lim_{n\to\infty}a_n=-\infty”. Aqui chamamos de sequência monotona decrescente aquela que satisfaz
a_{n+1}\le a_n\quad\text{para todo }n.
Para avaliar se isso implica sempre \lim_{n\to\infty}a_n=-\infty, vamos lembrar que uma sequência pode convergir a um número finito mesmo sendo decrescente.

Passo 2

Considere a sequência \{a_n\} dada por
a_n = \frac{1}{n}.
  1. Para todo n\ge1 vale
a_{n+1} = \frac{1}{n+1} \le \frac{1}{n} = a_n,
logo \{a_n\} é decrescente.
2. No entanto,
\lim_{n\to\infty}a_n = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n} = 0,
que é um número finito e não -\infty.

Resposta

A afirmação é falsa. O contra-exemplo é a_n=1/n, que é monotona decrescente mas tende a 0, não a -\infty.

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