Indique se as seguintes asserções estão CERTAS ou ERRADAS.
\langle(a, b),(c, d)\rangle=a+b+c+d define um produto interno em \mathbb{R}^{2}.

Passo 1

O enunciado traz a aplicação
\langle(a,b),(c,d)\rangle = a + b + c + d
em \mathbb{R}^2 e pede para verificar se ela satisfaz as propriedades de um produto interno: bilinearidade em cada argumento, simetria e positividade definida.

Passo 2

Verificação da bilinearidade no primeiro argumento: sejam (a,b),(a',b'),(c,d)\in\mathbb{R}^2.
Calculo
\langle(a+a',b+b'),(c,d)\rangle = (a+a') + (b+b') + c + d = (a+b+c+d) + (a'+b'),
enquanto
\langle(a,b),(c,d)\rangle + \langle(a',b'),(c,d)\rangle = (a+b+c+d) + (a'+b'+c+d) = (a+b+a'+b') + 2(c+d).
Como esses valores não coincidem, a bilinearidade falha.

Passo 3

Verificação da simetria: trocando os vetores,
\langle(a,b),(c,d)\rangle = a + b + c + d = c + d + a + b = \langle(c,d),(a,b)\rangle,
então a simetria é satisfeita.

Passo 4

Verificação da positividade definida: para (a,b)\neq(0,0),
\langle(a,b),(a,b)\rangle = a + b + a + b = 2(a+b).
Se a+b<0 esse valor é negativo, e se a+b=0 não é estritamente positivo. Portanto falha a positividade definida.

Resposta

ERRADA

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