Indique se as seguintes asserções estão CERTAS ou ERRADAS.
Se \left\{v_{1}, v_{2}\right\} é um conjunto ortonormal em \mathbb{R}^{2} e U é a matriz cujas colunas são as coordenadas dos vetores v_{1} e v_{2} na base canônica de \mathbb{R}^{2}, então U U^{T}=I_{2}.

Passo 1

O enunciado diz que \{v_{1},v_{2}\} é um conjunto ortonormal em \mathbb{R}^{2} e que U é a matriz 2\times2 cujas colunas são v_{1} e v_{2} na base canônica. Queremos verificar se
UU^{T}=I_{2}.
O conteúdo envolvido é o de matrizes ortogonais e propriedades de bases ortonormais.

Passo 2

Por definição de ortonormalidade temos
v_{i}\cdot v_{j}=\delta_{ij},
onde \delta_{ij} é o delta de Kronecker. Em termos de matrizes, isso significa
U^{T}U=I_{2},
ou seja, U é uma matriz ortogonal.

Passo 3

Para qualquer matriz quadrada ortogonal vale
U^{-1}=U^{T}.
Multiplicando à esquerda por U segue-se
UU^{T}=I_{2}.

Resposta

CERTA

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